次の関数のグラフ。。

質問

ｙ＝１－√（ｘ＾２－４ｘ＋３）

まず私は、ｙ＝１－√（ｘ＾２－４ｘ＋３）の式を
（ｙ－１）＾２＝（ｘ＾２－４ｘ＋３）として
（ｘ－２）＾２－（ｙ－１）＾２＝１　←この１は元々左辺のー１を移項しました。

そうしたら、双曲線の関係が出てきました。
そして、この式の漸近線をもとめたのですけど、

質問１、
ここは（ｘ－２）＾２（ｙ－１）＾２＝０と無条件で右辺を０に変えればいいのですか？？
もしそうしたら（ｘ－ｙ－１）（ｘ＋ｙ－３）になって
ｘ＝ｙ＋１とｘ＝－ｙ＋３が漸近線です。

その後、
この図を２つ双曲線なので、描くときに
まず、放物線が横向きになってしまったいる頂点の部分とｙ軸の交点を求めてやればいいと思いました。
まず、頂点の求め方は、この式をｘ＾２－ｙ＾２＝１の式とみてから、そのあとｙ＝０の時としてｘ＝±１としました。そしたら（ｘ、ｙ）＝（１，０）（－１，０）
となりました。この座標に題意のｙ＝１－√（ｘ＾２－４ｘ＋３）は二乗して、（ｘ－２）＾２－（ｙ－１）＾２＝１の式になったので、横に２、縦に１足したものだと思って、
（ｘ、ｙ）＝（３，１）、（１，１）　これがこの双曲線の頂点ですか？横たわっている尖ってる部分だと思いました。

そして図を二つ漸近線も引いて描いたのですけど、
質問２
答えをみたら、図が、ｙ≦１から下は普通の線で描かれていて、それ以上は点線に図がなってました＞＿＜
どうして、ｙ≦１から下が図は普通の双曲線の線のままで、ｙが１より高い部分は点線になってるのですか？？？？

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

１）質問1に関して
まず漸近線ですが、それで良いと思います。
右辺を無条件に0にするのは、曲線(x-2)^2 - (y-1)^2 = 1は
絶対に曲線(x-2)^2 - (y-1)^2 = 0上の点を通らないので、
右辺が0となるような式からできる直線と、曲線(x-2)^2 - (y-1)^2 = 1は
交わることがない、と教わりました。
それなら右辺は0でなくて、2や3でも良いんですが、0にした方が
因数分解ができて楽、というのが右辺を0にする理由ではないでしょうか？

次に頂点ですが、私は双曲線の頂点というものを初めて聞いたので
答えられませんが、『平行移動を考えて解く』という考え方は
あってると思います。

２）質問2に関して
こういった問題はまず最初に、xの定義域とyの値域から考えて下さい。
0 ≦ √a (0≦a。a＜0なら√aは複素数となってしまうので考えません)
これを考えると
y = 1-√(x^2-4x+3)において
0≦√(x^2-4x+3)
ですので
-√(x^2-4x+3)≦0
-√(x^2-4x+3)が0以下なので、yは1以下となります。
なので1≦yの領域にはグラフが描けません。

お礼

ありがとうございました！点線の理由がやっとわかりました！！！　こんなに丁寧に教えてくれて、本当にありがとうございました♪♪♪

補足

頂点じゃないとは思うのですけど、どうしても双曲線の図を描くときに、尖った部分を私は頂点と考えてました＞＿＜　なんかみたら、放物線が横向きに倒れてるのでこの尖った部分のことはなんと呼べばよいのでしょうか？？？　あと、この座標を求めるのに、他に何か方法がありましたら教えてください！！　まだ良くわからないんです＞＿＜

回答No.2

R_Earl

ANo.1です。高校時代の教科書を見てみたら、
どうやら頂点で良いみたいです。失礼しました。

頂点座標の求め方に関してですが、
(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1 ――――（＊）
の双曲線の場合、頂点の座標は必ず(±a,o)となります。
（この場合、y=0となる所に頂点があるから。）
(x-2)^2 - (y-1)^2 = 1の頂点の座標に関しては、nana070707さんが
用いた方法で良いと思います。

まずこの曲線をx軸方向に-2、y軸方向に-1平行移動させます。
平行移動した曲線の式は
x^2 - y^2 = 1
です。ちょうど（＊）式のaとbに1を代入した形です。
なのでこの平行移動した曲線の頂点の座標は(±1,0)となります。
曲線(x-2)^2 - (y-1)^2 = 1は、曲線x^2 - y^2 = 1を
x軸方向に+2、y軸方向に+1平行移動させた曲線です。
なので頂点の座標もx軸方向に+2、y軸方向に+1平行移動しているはずです。
なので、先ほど求めた曲線x^2 - y^2 = 1の頂点の座標の
x座標に+2、y座標に+1加えれば、曲線(x-2)^2 - (y-1)^2 = 1の
頂点の座標を求めることができます。
頂点の座標は(2±1,1)、すなわち(3,1)、(1,1)になります。

他に良さそうな方法は無いと思います。
強いて挙げるなら、{(x-s)/a}^2 - {(y-t)/b}^2 = 1の頂点座標を暗記し、
必要に応じてa,b,s,tに数値を入れ、求めるという方法があります。
この頂点座標もさっきと同じように求められます。
計算すると多分(s±a,t)となります。

今気付きましたが、頂点座標を曲線の式に代入すると、
{(x-s)/a}^2 = 1
{(y-t)/b}^2 = 0
となるみたいです。これを利用してみるのも良いのでは？

あともしかしたら教科書の方にも何かヒントとなりそうなものが
あるかもしれないので、一度そちらにも目を通しておくと良いと思います。

お礼

すごく、丁寧に教えてくれて本当にありがとうございました！！　あと解き方もすごく参考になりました♪本当に困っていたので＞＿＜嬉しかったです！Ｒ Earlさんありがとうございました♪♪♪