双曲線の問題

質問

教員採用試験に向けて勉強中の大学三回生です。
お恥ずかしいことに数学教師を目指していながら数学の問題がわからないので質問させてください。

双曲線の問題です。
焦点の座標が(-1,0),(1,0)であり、漸近線がy=-√3x,y=√3xである双曲線がある。
(1)双曲線の方程式を求めよ。
解答.12x^2-4y^2=3
(2)この双曲線を原点のまわりにπ/3だけ回転してできる双曲線の方程式を求めよ。
解答.8√3xy+8y^2=3

(1)はできました。
(2)がわかりません。双曲線を媒介変数表示して回転行列でやったらうまくいくかと思い試しましたがうまくいきません。

大まかな手順で結構ですのでよろしく御願い致します。

回答No.3

yhposolihp · ベストアンサー

>> (a^2)+(b^2)=1
>> (b^2)/(a^2)=3
>> (a^2)=(1/4),,,(b^2)=(3/4)
>> (4/1)(x^2)-(4/3)(y^2)=1
>> 12(x^2)-4(y^2)=3

X=xcos60度-ysin60度 → x=Xcos60度+Ysin60度　
Y=xsin60度+ycos60度 →　y=-Xsin60度+Ycos60度

或いは直接、
　　x=Xcos(-60度)-Ysin(-60度)
　　y=Xsin(-60度)+Ycos(-60度)

　　x=(1/2)X+(√3/2)Y
　　y=-(√3/2)X+(1/2)Y

12[{(1/2)X+(√3/2)Y }^2]-4[{-(√3/2)X+(1/2)Y}^2]=3

12[(1/4)(X^2)+(√3/2)XY+(3/4)(Y^2)]
　　　-4[(3/4)(X^2)-(√3/2)XY+(1/4)(Y^2)]=3

8√3XY-8(Y^2)=3
　　　smallに書き直して、
8√3xy-8(y^2)=3　　。

お礼

ありがとうございます。
回答を投稿される前に自力で解決してしまいました。
またどうしてもわからない問題があれば質問させていただきますのでそのときはyhposolihpさん是非よろしく御願いします。

回答No.2

koko_u_

>双曲線を媒介変数表示して回転行列でやったらうまくいくかと思い試しましたがうまくいきません。
いつものことですが、何故「うまくいかない」内容を書かないのですか？

あなたも生徒から「なんだかうまくいかない」と言われても困るでしょう？

お礼

自力にて解決しました。
ごく簡単な問題でした。大変お恥ずかしい。
一部の荒しのせいで質問があれてしまいましたことをお許し下さい。
回答ありがとうございました。

補足

これは大変失礼致しました。
まず、双曲線の方程式を(x/a)^2-(y/b)^2=1とし、
x = a/cosA
y = btanA
とAで媒介変数表示します。
これを並べた行ベクトル( x y )に左から回転行列
( cosπ/3 -sinπ/3 )
( sinπ/3 cosπ/3 )
をかけて計算してみたのですが出てきた結果がxとyの混じったよくわからない式が2つ出てきてよくわからなくなってしまいました。

回答No.1

noname#69788

回転の1次変換を使えばいいのではないでしょうか。

お礼

自力にて解決しました笑。
ごく簡単な問題でした。
大変お恥ずかしい。もっともっと勉強します。
この度は回答ありがとうございました。

補足

( cosA -sinA )
( sinA cosA )
の回転行列のことでしょうか。
これを使用したのですがなんだかうまくいかないのです。