1)
2x^2+7xy+3y^2+11x+13y=60
↓両辺に12を加えると
(x+3y+4)(2x+y+3)=72
x+3y+4と2x+y+3の値はそれぞれ
72の約数
1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72
の12通りあるから
a=(2^j)(3^k)
b=2^(3-j)3^(2-k)
x+3y+4=a
2x+y+3=b
とすると
5y=2a-b-5
5x=3b-a-5
だから
2a-b=0(mod5)
3b-a=0(mod5)
の時
x=(3b-a)/5-1
y=(2a-b)/5-1
が整数となる
(a,b)=(1,72)→2*1-72=-70=0(mod5),3*72-1=215=0(mod5)
(x+3y+4=1)&(2x+y+3=72)→(x,y)=(42,-15)
(x+3y+4=-1)&(2x+y+3=-72)→(x,y)=(-44,13)
(a,b)=(2,36)→2a-b=2*2-36=-32≠0(mod5)→(a,b)≠(2,36)
(a,b)=(3,24)→2a-b=2*3-24=-18≠0(mod5)→(a,b)≠(3,24)
(a,b)=(4,18)→2a-b=2*4-18=-10=0(mod5),3b-a=3*18-4=50=0(mod5)
(x+3y+4=4)&(2x+y+3=18)→→(x,y)=(9,-3)
(x+3y+4=-4)&(2x+y+3=-18)→(x,y)=(-11,1)
(a,b)=(6,12)→2a-b=2*6-12=0(mod5),3b-a=3*12-6=30=0(mod5)
(x+3y+4=6)&(2x+y+3=12)→(x,y)=(5,-1)
(x+3y+4=-6)&(2x+y+3=-12)→(x,y)=(-7,-1)
(a,b)=(8,9)→2a-b=2*8-9=7≠0(mod5)→(a,b)≠(8,9)
(a,b)=(9,8)→2a-b=2*9-8=0(mod5),3b-a=3*8-9=15=0(mod5)
(x+3y+4=9)&(2x+y+3=8)→(x,y)=(2,1)
(x+3y+4=-9)&(2x+y+3=-8)→(x,y)=(-4,-3)
(a,b)=(12,6)→2a-b=2*12-6=18≠0(mod5)→(a,b)≠(12,6)
(a,b)=(24,3)→2a-b=2*24-3=45=0(mod5),3b-a=3*3-24=-15=0(mod5)
(x+3y+4=24)&(2x+y+3=3)→(x,y)=(-4,8)
(x+3y+4=-24)&(2x+y+3=-3)→(x,y)=(2,-10)
(a,b)=(36,2)→2a-b=2*36-2=70=0(mod5),3b-a=3*2-36=-30=0(mod5)
(x+3y+4=36)&(2x+y+3=2)→(x,y)=(-7,13)
(x+3y+4=-36)&(2x+y+3=-2)→(x,y)=(5,-15)
(a,b)=(72,1)→2a-b=2*72-1=143≠0(mod5)→(a,b)≠(72,1)
∴
(x,y)
=
(42,-15),(-44,13),(9,-3),(-11,1),(5,-1),(-7,-1),(2,1),(-4,-3),(-4,8),(2,-10),(-7,13),(5,-15)
2)
f(x,y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2を因数分解すると
(x+4y+1)(2x+3y-2)
である
56の約数は
{(2^j)(7^k)}_{j=0～3,k=0～1}
の6通りあるから
a=(2^j)(7^k)
b=2^(3-j)7^(1-k)
x+4y+1=a
2x+3y-2=b
とすると
5y=2a-b-4
5x=4b-3a+11
だから
2a-b=4(mod5)
4b-3a=4(mod5)
の時
f(x,y)=56を満たす自然数x,yの値は
x=(4b-3a+11)/5
y=(2a-b-4)/5
(a,b)=(1,56)→2a-b=2*1-56=-54=1≠4(mod5)→(a,b)≠(1,56)
(a,b)=(-1,-56)→2a-b=-2*1+56=54=4(mod5),4b-3a=-56*4+1*3=-221=4(mod5)
(x+4y+1=-1)&(2x+3y-2=-56)→(x,y)=(-42,10)
(a,b)=(2,28)→2a-b=2*2-28=-24=1≠4(mod5)→(a,b)≠(2,28)
(a,b)=(-2,-28)→2a-b=-2*2+28=24=4(mod5),4b-3a=-28*4+2*3=-106=4(mod5)
(x+4y+1=-2)&(2x+3y-2=-28)→(x,y)=(-19,4)
(a,b)=(4,14)→2a-b=2*4-14=-6=4(mod5),4b-3a=4*14-3*4=44=4(mod5)
(x+4y+1=4)&(2x+3y-2=14)→(x,y)=(11,-2)
(a,b)=(-4,-14)→2a-b=-2*4+14=6=1≠4(mod5)→(a,b)≠(-4,-14)
(a,b)=(7,8)→2a-b=2*7-8=6=1≠4(mod5)→(a,b)≠(7,8)
(a,b)=(-7,-8)→2a-b=-2*7+8=-6=4(mod5),4b-3a=-4*8+3*7=-11=4(mod5)
(x+4y+1=-7)&(2x+3y-2=-8)→(x,y)=(0,-2)
(a,b)=(8,7)→2a-b=2*8-7=9=4(mod5),4b-3a=4*7-3*8=4(mod5)
(x+4y+1=8)&(2x+3y-2=7)→(x,y)=(3,1)
(a,b)=(-8,-7)→2a-b=-8*2+7=-9=1≠4(mod5)→(a,b)≠(-8,-7)
(a,b)=(14,4)→2a-b=2*14-4=24=4(mod5),4b-3a=4*4-3*14=-26=4(mod5)
(x+4y+1=14)&(2x+3y-2=4)→(x,y)=(-3,4)
(a,b)=(-14,-4)→2a-b=-14*2+4=-24=1≠4(mod5)→(a,b)≠(-14,-4)
(a,b)=(28,2)→2a-b=2*28-2=54=4(mod5),4b-3a=4*2-3*28=-76=4(mod5)
(x+4y+1=28)&(2x+3y-2=2)→(x,y)=(-13,10)
(a,b)=(-28,-2)→2a-b=-28*2+2=-54=1≠4(mod5)→(a,b)≠(-28,-2)
(a,b)=(56,1)→2a-b=56*2-1=111=1≠4(mod5)→(a,b)≠(56,1)
(a,b)=(-56,-1)→2a-b=-56*2+1=-111=4(mod5),4b-3a=-4+3*56=164=4(mod5)
(x+4y+1=-56)&(2x+3y-2=-1)→(x,y)=(35,-23)
∴
(x,y)=(-42,10),(-19,4),(11,-2),(0,-2),(3,1),(-3,4),(-13,10),(35,-23)
3)
c:6/x+9/y-1/210=0
1260y+1890x-xy=0
xy-1260y-1890x=0
(x-1260)(y-1890)=1260*1890=8*3^5*25*49=2381400
整数解は
{
x=1260+(2^j)(3^k)(5^m)(7^n),
y=1890+2^(3-j)3^(5-k)5^(2-m)7^(2-n)
}_{j=0～3,k=0～5,m=0～2,n=0～2}
の
80通りある
cの双対曲線は
c^*:1260{315(2x-3y)^2+2x+3y}+1=0
で
c^*∩Z^2=φ
整数解は存在しない
4)
85x^2+726xy-4020x-351y^2-36180y+808020=0
↓因数分解すると
(x+9y)(85x-39y-4020)+808020=0
↓両辺から808020を引くと
(x+9y)(85x-39y-4020)=-808020=-2^2*3^2*5*67^2
a=(2^j)(3^k)(5^m)(67^n),(j=0～2,k=0～2,m=0～1,n=0～2)
b=-2^(2-j)3^(2-k)5^(1-m)67^(2-n)
x+9y=a
85x-39y-4020=b
804(y+5)=85a-b
268(x-45)=13a+3b
85a-b=0(mod804)
13a+3b=0(mod268)
(a,b)=(402,-2010)の時(x,y)=(42,40)
(a,b)=(-402,2010)の時(x,y)=(48,-50)
(a,b)=(2010,-402)の時(x,y)=(138,208)
(a,b)=(-2010,402)の時(x,y)=(-48,-218)
