グリーンの定理を用いて次の単純閉曲線Cで囲まれた領

質問

グリーンの定理を用いて次の単純閉曲線Cで囲まれた領域の面積を求めよ。
C:r(t)=acosti+bsintj
どのようにグリーンの定理を使えばいいかわかりません…

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

C:r(t)=acosti+bsintj=xi+yj (楕円)
x=acost, y=bsint
グリーンの定理を使えば面積分は線積分求められるから
S=∮[C] xdy=∮[C] xdy= ∫[0,2π] acost*(bcost)dt=(ab/2) ∫[0,2π] 2cos^2 t dt
=(ab/2) ∫[0, 2π] (1+cos(2t)) dt
=(ab/2) [t+(1/2)sin(2t)][0, 2π]
=(ab/2) 2π
=abπ ... (Ans.)
[楕円楕円の面積]

お礼

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