ベクトル場Aと閉曲線Cが次のように与えられた時、閉

質問

ベクトル場Aと閉曲線Cが次のように与えられた時、閉曲線Cに沿うベクトル場Aの線積分を、直接計算によって、ストークスの定理を利用してそれぞれ求めよ。
A=(x^2+y-4)i+3xy^2j+(2xz+z^2)k
Cは曲面z=4-x^2-y^2とxy平面との交わりで、向きは反時計回りとする。

２通りのやり方で教えてください！

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

A=(x^2+y-4)i+3xy^2j+(2xz+z^2)k
Cは曲面z=4-x^2-y^2とxy平面との交わり
ds=idx+jdy, x=2cosθ, y=2sinθ,

[直接計算]
∮[C] A・ds=∮[C] (x^2+y-4)dx+3xy^2 dy
=∫ [0, 2π] {(4(cosθ)^2+2sinθ-4)*2(-sinθ) +24cosθ(sinθ)^2*2cosθ} dθ
=2∫ [0, 2π] {-(2sinθ(1+cos2θ)+(1-cos2θ)) +6(sin2θ)^2} dθ
=2∫ [0, 2π] {-2sinθ cos2θ-1+3(1-cos4θ)} dθ
=2∫ [0, 2π] (sinθ-sin3θ +2) dθ
=2∫ [0, 2π] 2 dθ
= 8π

[ストークスの定理の左辺から計算]
∮[C] rot A・dS=∬[S] (rot A)_z dxdy
=∬[S] (∂A_y/∂x-∂A_x/∂y) dxdy
=∬[S] (3y^2 -1) dxdy
x=rcosθ, y=rsinθ (0<=r<=2,0<=θ<=2π),
=∬[S] (3(rsinθ)^2 -1) r drdθ
=∫ [0, 2π] {[(3r^4/4)(sinθ)^2-r^2/2][0,2]} dθ
= ∫ [0, 2π] {12(sinθ)^2-2} dθ
= ∫ [0, 2π] {6(1-cos2θ)-2} dθ
= ∫ [0, 2π] 4 dθ
=8π

[２通りのやり方とも答えが同じ8πになった]

お礼

ありがとうございます！