ベクトル場Aと閉曲線Cが次のように与えられた時、閉

質問

ベクトル場Aと閉曲線Cが次のように与えられた時、閉曲線Cに沿うベクトル場Aの線積分を、直接計算によって、ストークスの定理を利用してそれぞれ求めよ。
A=yi-xj+zk
Cは球面(x^2)+(y^2)+(z^2)=a^2とxy平面との交わりで、向きは反時計回りとする。

わかる方２通りともおしえてください！

回答No.1

jcpmutura

C:x^2+y^2=a^2,z=0
C:r=(x,y,z)=(acost,asint,0)
A=yi-xj+zk=asinti-acostj
A_x=y
A_y=-x
A_z=z

Cに沿って
dx=-asintdt
dy=acostdt
dz=0
だから[直接計算]すると

∫_{C}A・dr
=∫_{C}{ydx+(-x)dy}
↓y=asint,dx=-asint,x=acost,dy=acostを代入して
=∫_{0～2π}{-(asint)^2-(acost)^2}dt
=-a^2∫_{0～2π}dt
=-2πa^2

end---------------------------------------------
∂(A_z)/∂y=0
∂(A_y)/∂z=0
∂(A_x)_z=0
∂(A_z)_x=0
∂(A_y)/∂x=-1
∂(A_x)/∂y=1
∇×A=(0,0,-2)

Sをz≧0の半球とすると
S={(x,y,z)|x^2+y^2=a^2-z^2,z≧0}

S={(x,y,z)
|x=asin(t)cos(u)
,y=asin(t)sin(u)
,z=acos(t)
,0≦t≦π/2
,0≦u≦2π}

r=√(x^2+y^2)=√(a^2-z^2)とすると
r=asin(t)
dr=acos(t)dt
半球の微小面積は
dS=rdudr=(a^2)sin(t)cos(t)dudt
となるから

∫_{C}A・dr
↓[ストークスの定理から]
=∫{S}(∇×A)dS
=∫{S}{∂(A_y)/∂x-∂(A_x)/∂y)}dS
=-2∫{0～π/2}(∫{0～2π}du)(a^2)sin(t)cos(t)dt
=-2πa^2∫{0～π/2}2sin(t)cos(t)dt
=-2πa^2∫{0～π/2}sin(2t)dt
=-2πa^2[-cos(2t)/2]_{0～π/2}
=-2πa^2