ガウスボンネの定理で分からないことが有ります。

質問

小林昭七先生の『曲線と曲面の微分幾何』P134問2-2で、表題の定理を球面で検証する問題が出ています。「Kθ1外積θ2」の領域Aでの面積分を使うと確かに計算結果と定理は合致しますが、面積分と等しいはずのω12のdAでの線積分の具体的計算とは合致しません。表題の定理はそれらが等しいというストークスの定理から導かれていて、これらが等しくないと定理自体が成り立たなくなり、非常に悩んでいます。表題の証明ではAを平面領域としているのに、問では球面に適用していることが原因と思いますが、そうなると表題の定理自体が使えないのではないでしょうか？またω12のdAの線積分が使えないのに、測地的曲率の線積分ではdAを使っています。これも理解できません。ご存知の方是非ご教示ください。よろしくお願い致します。

回答No.1

noname2727

質問が曖昧すぎて答えることができません。ω１２とは何ですか？問いをもう少し丁寧に説明してください。

補足

すみません、詳しく書きたいのですが外積の記号や上付き下付きの数字等が旨く入力できないために、曖昧になっていると思います。分かり難いとは思いますが、小林先生の記号に従って具体的に書きますと、この節でのガウスボンネの定理は

∫AＫθ1外積θ2 ＋ ∫dAｋgｄｓ＝２π ー Σεi　

のことで、Aは平面の領域、θ1、θ2はリーマン計量ｄｓ2から定義される１次微分形式（1,2は上付きの添数）、Ｋは曲率、dAはAの向きの付いた境界、ｋgは境界dAの測地的曲率、εiは境界の滑らかでない点での外角、となります。

小林先生はこのガウスボンネの定理を導くときに左辺第１項の積分を下の(1)を使っています。

∫AＫθ1外積θ2 ＝ ∫Aｄω12 ＝ ∫dAω12　・・・(1)

(1)の式のω12は接続形式のことで、曲面上の点ｐでの接平面を正規直交基底ｅ1、ｅ2、ｅ3としたときのｅ1の微分ｄｅ1をｅ1、ｅ2、ｅ3の和で表した時のｅ2の係数です。
具体的に書きますと

ｄｅ1＝ω11ｅ1＋ω21ｅ2＋ω31ｅ3　で　ω12＝ーω21　のことです。

(1)の最初の等式は第二構造式から出てきます。尚、この１番目と２番目の面積分からは定理と合致した正しい値が出ました。(1)の２番目の等式がストークスの定理です。最初の質問にも書きましたが、小林先生はこの定理を用いてガウスボンネの定理を導いています。従って、ストークスの定理を用いて導かれた定理が(1)の第３式∫dAω12の計算結果と合致しないのはどうしてでしょうかというのが質問の趣旨です。
分かりにくい質問で申し訳ありませんでしたが、よろしくお願いします。
尚、設問の内容は、球の小円に対し具体的に計算して、ガウスボンネの定理が成り立つことを確かめよということです。