剛体に作用する外力の作用点について

質問

2次元だけを考えます。ある剛体が空間に置かれていて何らかの外力が作用しているとします。重力、圧力、〇〇力いろいろです。それらの外力については2次元だから、x方向、y方向の2方向に分解されるわけですが、さらにその作用点も2方向持つことになります。x, y片方づつの作用点をそれぞれxg, ygとしますと、外力作用点は(xg, yg)ということになると思いますが、この(xg, yg)はその剛体内部になるということは当然なのでしょうか。作用点とはその外力の分布状況を1つの点に作用する力に等価に置き換えるということではないかと思います。そのため、剛体内部の点になるはずだと思いますが。
もし、その剛体がかなり薄肉のものなら、x=xgに対応したyの値がかなり限定されるので片方の作用点を調べるだけでyの作用点も決まってしまう、ということになりそうですが。
よろしくお願いします。

回答No.3

ddtddtddt

#2です。反力という言葉をご存じなんですね？。それに静水圧，面積力，力のモーメント，水平に鉛直・・・、だんだん同業者に思えてきました(^^)。以下、同業者と思って答えてます。

　添付図の半円アーチなどの場合、図心（重心）の高さhはその下の式のようになり、実際に計算してみると、重心点はアーチの外部にあります。なので半円アーチを一点で支持して吊り合わせる事はできない訳ですが、それでもその下の図のように、ちょうど重心を通るように支持棒を入れ、そこをピン支持したら実際に釣り合うはずですよね？。

　要するに重心というのは結局、数学的な便利手段だと言えます。ただし非常に役に立ちます。例えば右側上段の図のように、半円アーチを海に沈め、ピン支点とローラー支点で支持するとします。

　普通にいう荷重としては（自重を省略すれば）、静水圧の合力Fです。静水圧の合力はどんな形状でも、体積分の浮力Fです。ピン支点とローラー支点の支点反力を求める計算を、思い出して下さい。

　前回の結果が言ってる事は、浮力Fとピン支点の鉛直反力V1とローラー支点の鉛直反力V2，ピン支点の水平反力H1を全て重心に集めて、

　V1＋V2＋F＝0　　　(1)
　H1＝0　　　　　　　(2)

とすれば並進運動しない（釣り合ってる）です。表式が面倒なので出しませんが、V1とV2とH1とFによる重心まわりの力のモーメントMが重心に作用してる
と考えて、

　M＝0　　　(3)

なら回転もしない。(1)，(2)，(3)を解けば、支点反力が求まる（たぶん負反力）。いつもやってますよね、こういう事は？(^^)。

　この時、重心はアーチと剛体支持棒（重さも体積もない絶対曲がらない仮想部材）でつながってると仮定して計算してもOKですよぉ～、が前回の結論です。しかも釣り合い計算をする時は動く訳じゃないから、実際問題として重心位置なんか気にもしませんよね？。

　ちなみに全合力ΣFj＝0の時は、全モーメントの値は回転中心の位置で変わらないという結果まで、前回の導出過程で得られます（だって特に釣り合ってる時は、回転もしないんだから(^^)）。

　こうして重心からは完全に自由になれますが、それを根拠づけるのは、やはり重心を作用点として良いという、数学的事実です。

　そうなると海に沈めた単純桁の釣り合い計算は、全く同じです。もっと言えば、任意形状の物体だって全く同じですよね？。剛体であろうが、変形しようが、構造に関わらず静定である限り、支点反力の計算はいつも同じです。

　それが重心を考える効用だと思います（しかも意識する必要すらない(^^;)）。

回答No.2

ddtddtddt

#1です。合力に対する作用点ですか。了解しました。

　合力に対する作用点は重心だという、あなたの予想は正しいです。ただしこの事を我々は、ちゃんと教えてもらってないんですよ（個人的意見ですが）。それは大学レベルであっても教える側は、「こんな事、高校でやったよね？」という態度に出てくるからです(^^;)。

　添付図の物体を細かく分割し、微小要素をjで番号付け、質点mjで代表させます。分割は原理的にいくらでも細かく出来るとします。以下の話は変形する物体でも、剛体でも、ガス体でも成立します。

　基本はニュートンの運動方程式と作用・反作用の法則です。それぞれの質点も運動方程式を満たすはずなので、それを、

　　mjaj＝f1j＋f2j＋・・・＋Fj　　　(1)

とします。ここでajはmjの加速度，fkjはmkがmjに及ぼす力，Fjは物体外部からのmjへの外力です。合力ΣFjに対するm1，m2，・・・の挙動が知りたいので、(1)を全てのjについて和を取ります。

　　Σmjaj＝Σfkj＋ΣFj　　　(2)

　(2)の右辺第1項は内力の和と呼ばれます。2項目は外力の合力です。1項目を（わかりやすく？）展開したのが、添付図の2つ目の式です。

　点線で示した対角線で折り返して考えると、必ずfkjにはfjkが対になって現れ、ここで作用・反作用の法則が登場します。fkj＋fjk＝0です。従って1項目は、対角項のみの和になります。しかしfjjは質点mjがmjに及ぼす力です。「そんなのあるわけないよね」と、f11＋f22＋・・・＝0。よって、

　　Σmjaj＝ΣFj　　　(3)

が得られます。さらに全質量M＝Σmjを使って(3)の左辺を、

　　M(Σmj/M×aj)＝ΣFj　　　(4)

と変形してやると、()内は重心加速度の定義式です。何故なら重心Xgは、

　　Xg＝Σmj/M×xj　　　　　(5)

で計算されるからです。(4)，(5)より、外力の合力ΣFjは、物体重心に直接作用してると考えてOKになります。さらに(4)より、全質量も重心に集中してるとして扱ってOKです。

　重心位置が物体を飛び出る事はありえます。そういう時は重心と物体とが、重さも質量もない剛体棒でつながってると考えます（近似的になら、製作も可能です）。剛体棒なので、物体と重心点の距離関係は変わらないので、重心運動がわかれば、物体（剛体）運動もそれにぴったり着いてく事になります。

　もっと言えばガス体の場合、重心がガス雲の中なのか外なのかなんて、どうでも良いですよね？(^^)。

　じつは上記は、運動量保存則の導出過程です。外力の合力ΣFj＝0の場合、系の重心運動は静止か等速直線運動である、が(4)から自明に出てきます（ガス雲であっても）。

　次に回転運動については、回転なので回転中心をとりあえずは考える必要があります。回転中心から質点mjまでの腕の長さをrjとし、mjの位置でrjと直交する方向をsjとします。そしてmjの加速度ajのsj方向成分だけを（回転なので）、全てのmjで集めてやって、さっきみたいな事をします。もちろん運動方程式が基本なので、mjajのsj方向成分を全部集める訳です。

　実際に実行すると余りに長くなるので省略しますが、結果は、

　　(Σmj×rj^2)ω＝Σfjrj　　　(6)

です。(6)左辺の()内は慣性モーメントと言われ、回転中心に対する角加速度ωへの質量の役割をします。(6)右辺のfjは、質点mjへの外力Fjのsj方向への分力を表し、fjrjはトルク（古い分野では力のモーメント）と言われる奴です。要するに回転力です。

　(6)も、各質点の運動方程式の集計と作用・反作用のみから導けます（大変ですけど(^^;)）。で、Σfjrj＝０なら、(6)から角運動量保存則です。

　(6)の意味は、回転中心に直接、全トルクΣfjrjが（全回転力が）働いてるとみなしてOKよ、という事です。ただし外力による全トルクの値は、一般には回転中心の位置によって異なるという結果も、同時に導かれます（それぞれ正しいのですけれど）。

　そこで通常は回転中心として重心が選ばれます。わかりやすいからです。

　全合力ΣFjにより物体重心は移動しながら、その回りで物体は重心を中心に全トルクΣfjrjで回転する、という描像になります。

　そういう訳で、並進運動の関しても回転運動に関しても、全合力の作用点は重心として良い事になります。

お礼

懇厚な回答ありがとうございます。解説頂いた内容は外力を受けて剛体運動している物体の運動は重心の並進運動と重心周りの回転運動に分解して調べてよい、ということの証明ということになるかと拝察いたします。静止している物体を考えた場合、力やモーメントのつり合いが成り立っていることになります。ΣFj = 0であり Fjはいろんな外力要素のうちのj番目ということです。そのうちの１つだけを取り出します。例えば水中で静止する剛体に作用する圧力です。その剛体は浮遊しているのではなく、海底にボルトで固定されて絶対に動かないようになっています。先の式でFjのうちのどれかは海底の反力で、それがあるために動かないというわけです。外力としての水圧（静水圧）だけを取り出してその作用点がどこなのかということになります。水圧はどのような複雑な形状をしている剛体であっても面に垂直に作用します。また圧力の値は単純に水面からの距離です。水圧は剛体の面に作用する面積力で水平、鉛直に分解して調べることができます。そしてそれぞれに方向での作用点が求まりますが、その交点が剛体の形状の外になる場合があるというのが何となくピンとこないのですが。

回答No.1

ddtddtddt

質問の意図が、今一つわからなかったのですが・・・。

　2方向分力を持つ外力F＝(Fx，Fy)が着力点P＝(xg，yg)に作用する、という言い方は、あくまで人間の表現手段上の都合であって（そう言った方がわかりやすいから）、実態は一つの力がFが一点Pに作用するです。

　作用点が剛体内部かどうかは、力の種類によって決まります。例えば重力は物体力と言われ、作用点は明らかに物体内部です。正確には分布荷重なので、作用点はその近似と考えられます。

　剛体を上から押したら、その作用点は物体内ではありません。あくまで剛体表面を押すんだから表面力です。表面分布荷重である圧力も同じです。

　一般に外力では、人が人為的に与えたか、重力のように作用点が明確です。なので作用点は最初からわかっています。薄肉剛体でも、それは同じです。

お礼

回答ありがとうございます。2次元なので力は2成分のベクトルで、成分に分解して２つのスカラーとして演算処理することと、そうしないであくまでもベクトルのままで考えることとの等価性は担保されるかなと思っています。体積力は重心に作用すると思ってよいかと思います。その場合は作用点は重心ですね（そしてそれは剛体内部にある）。それでは面積力を考えますと、剛体の表面を微小な線分のセグメントに分けてそのセグメントのx,yそれぞれの方向の合力とか、作用点（セグメント線分の中心）が分かるのでそのモーメントを調べて作用点座標をしらべることができると思います。その場合、x, y方向の作用点が別々に決まりますが、それらはいずれも剛体内部であり、その交点が作用点で、それは剛体の内部にある、ということは証明されるか？という質問です（例外が１つでも示せたら、できないという結論になる）。もし作用点が剛体外部である場合、それはどのような状態なのか想像が難しいです。作用点は剛体内部になる、と証明できるでしょうか。重心は剛体内部（剛体を構成する閉曲線内部）ということは証明できないでしょうか。それともかなりいびつな剛体の場合、重心が剛体の外部にある（複数のひもで釣り上げたときの中心の鉛直線が物体の外にある）ことも十分あり得ることになります。面積力でも作用点は剛体の外部であることはあり得る、ということになるのでしょうか。そもそも作用点とは何なんだ、ということにもなりそうです。作用点は剛体に作用する分布的な外力の合計が1つの点に作用すると置き換えたものと等価である点だと思っています。それが剛体の外だったら力が作用できないことになってしまうのですが。どこかに思い違いがあるでしょうか。