数列 至急お願いします

質問

突然ですが、以下の問題の解き方を教えてください。（1）は自分で解けたのですが、（2）からは出来ませんでした。（2）のヒントに、S(n)–(1/3)S(n)を計算すれば良いとありましたが……。どうかお願いします。

解答は、
（1）n/(3n+1)
（2）9/4–{(2n+3)/4}(1/3)^(n–1)
（3）順に2—(1/2)^(n–1)、(n/2)(n–1)
です。

回答No.1

f272

(1)
1/(1*4)+1/(4*7)+1/(7*10)+1/(10*13)+1/(13*16)+...+1/((3n-2)*(3n+1))
=Σ(1/(3n-2)-1/(3n+1))*1/3
=(1/1-1/(3n+1))*1/3
=n/(3n+1)
(2)
S[n]=1+2*1/3+3*(1/3)^2+4*(1/3)^3+...+n*(1/3)^(n-1)
1/3倍すると
(1/3)S[n]=1*(1/3)+2*(1/3)^2+3*(1/3)^3+4*(1/3)^4+...+n*(1/3)^n
この2つを辺々引くと
(2/3)S[n]=1+(1/3)+(1/3)^2+(1/3)^3+(1/3)^4+...+(1/3)^(n-1)-n*(1/3)^n
もう一度1/3倍すると
(2/9)S[n]=1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+(1/3)^4+(1/3)^5+...+(1/3)^n-n*(1/3)^(n+1)
引き算すれば
(4/9)S[n]=1-n*(1/3)^n-(1/3)^n+n*(1/3)^(n+1)
(4/9)S[n]=1-(n+1)*(1/3)^n+n*(1/3)^(n+1)
(4/9)S[n]=1-(2n+3)*(1/3)^(n+1)
S[n]=9/4-(2n+3)/4*(1/3)^(n-1)
(3)
a[n]=2^(n-1)だから
Σ(1/a[n])=1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)=(1-1/2^n)/(1-1/2)=2-(1/2)^(n-1)
Σ(loga[n])=log1+log2+log4+...+log2^(n-1)=0+1+2+...+(n-1)=(n/2)(n-1)