数列

質問

まずはじめに、私がこの問題を自分で十分に考えてからの質問という事を了承ください。

私は次に挙げる二つの数列の問題に悩んでいます。解答に至るまでの過程のヒントを回答してもらいたいと考えています。

(1)
　　1+2/2+3/2^2+4/2^3+・・・・+n/2^(n-1)＝□

(2)
数列{an}は、an＝3n-2の等差数列である。
　　数列{an}の初項から第n項までのn個の項のうち、
　　異なる2項の積の総和をSnとする。
　　例えば、
　　S3=a1a2+a1a3+a2a3である。

　　このときS10=□である　

　　回答よろしくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

（１）のヒント
S=1+2/2+3/2^2+4/2^3+・・・・+(n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1)　－（１）とすると、
2S=2+2+3/2+4/2^2+・・・・+(n-1)/2^(n-3)+n/2^(n-2)　－（２）

（２）から（１）を辺々引くと(右辺は(2)を左に１個ずつずらして）
2S-S=2+1+1/2+1/2^2+・・・・・+1/2^(n-3)+1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
すると、２項目から後ろから２項目までは・・・

お礼

>２項目から後ろから２項目までは・・・

初項１、公比１/２、項数（n－１）の等比数列の和ですね。

最後までといてみた結果、答えが(2-n)/2^(n-1)+4になりました。

わたしは質問する前に、SからS/2を引いてS/2を出すという、とても意味のない事をしていました。回答のように、ずらして引く方法は習ったはずでしたが、まだ習熟度が足りませんでした。

回答ありがとうございました。

回答No.5

tatsumi01

No. 2 のものですが、この問題にしか使えない技巧的な解答なので理解しにくいかも知れません。No. 3 の方の解答が普通だし、他の問題への応用もできます。
x + x^2 + x^3 + ..... + x^n = x(x^n-1)/(x-1)
これを微分すると左辺は
1 + 2x + 3x^2 + ..... + nx^(n-1)
右辺は面倒くさいので、ご自分で計算して下さい。
ここで x=1/2 を代入すると、左辺は問題の式になります。右辺に x=1/2 を代入した結果が答えです。

お礼

右辺を微分したところ、

　　{n*x^(n+1) -(n+1)*x^n +1} /(x-1)^2

になり、ここにx=1/2を代入すると同じ答えが出ました。

確かにこの解法は、「この問題にしか使えない技巧的な解答」方法かも知れませんが、教えていただいてとても為になりました。少しだけ数学の幅が広がった気がします。

回答ありがとうございました。

回答No.4

debut

No3です。
　（１）の答えを確かめてみてください。例えば、ｎ＝２のとき、1+2/2で
　ちゃんと２になりますか？
　私は、等比数列の和の部分が、２{１－(1/2)^(n-1)}になりましたが・・

お礼

プラスとマイナスの計算ミスでした。

正しくは (-n-2)/2^(n-1) +4でした。

間違いの指摘までありがとうございました。

補足

＞ちゃんと２になりますか？

なりません・・・↓↓

＞私は、等比数列の和の部分が、２{１－(1/2)^(n-1)}になりましたが・・

わたしも同じになりました。今その後の計算を何度も確認しましたが、分かりません・・・

回答No.2

tatsumi01

「十分に考え」た内容を書いてくれないとねえ。
(1) のヒントだけ。
f(x) = x + x^2 + x^3 + ..... + x^n = ?
第２辺と第３辺を x で微分して x = 1/2 と置いたら？

補足

＞「十分に考え」た内容を書いてくれないとねえ。

ほんとにその通りだと思います。しかし、自分で考えたのは、原始的な強引なやり方や、意味のないやり方ばかりだったので、内容を書くにも書けぬ状況でした。でもこれからは、自分はここまで解けたという事をはっきり明記した上で、質問しようと思います。

そして、回答してくださった方法を考えてみたのですが、微分をする処理のところがよく分かりません。微分をしたら、その後どういう展開で解答を進めるのかをよろしかったら教えていただけませんか？

回答No.1

pocopeco

(2)のヒント
例えば
２個の文字で、ab={(a+b)^2-a^2-b^2}/2
３個の文字で　ab+bc+ca={(a+b+c)-a^2-b^2-c^2}/2

10個の文字ではどうでしょう？

お礼

２乗の公式と、場合の数の組み合わせの考え方を使った、鮮やかな方法だと思います。

計算の結果、9090と出ました。

これならシグマの計算だけなので、簡単でした。

回答ありがとうございました。