数学

質問

Xt>0, Xt-1>0のとき、
logXt－logX t-1≒(Xt－X t-1)/(X t-1)　の証明を教えてください。

回答No.1

statecollege

いま、(Xt-Xt-1)/Xt-1 = xとおくと、logを自然対数として
logXt - logXt-1 = log Xt/Xt-1 =log (1+x)
より、
log (1+x) ≒ x
すなわち、
e^x ≒ 1+x
となることを示せばよい。ただし、eは自然対数の底。いま、f(x) = e^xとおいて、f(x)をx=0の近傍でテイラー展開すると、f(x) = f'(x) = f"(x) = ・・・ = e^x だから
f(x) = f(0) + xf'(0)/1! +x^2 f"(0)/2! + ・・・
すなわち、
e^x = 1 + x + x^2/2 + ・・・
となる。ｘが十分小さいときは、第3項以下はゼロに近い値になるので、無視することができ、
e^x ≒1 + x
と近似することができる。すなわち、
log (1+ x ) ≒ x
と求める結果となる。
この近似式は経済学でよく使われるので知っておくと便利。経済学ではたとえばXtがt期のGDPの値表わしているとすると、与えられた式の右辺はGDPのt-1期からt期への成長率を表わしている。したがって、GDPのt-1期からt期への成長率は、t期のGDPの対数値とt-1期のGDPの対数値との差として表わせる、ということです。