３重積分に関する問題
R^3上の広義積分
（１）∫∫∫[R^3] e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
（２）∫∫∫[R^3] (x^2 + y^2 +z^2)e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
ただし、Q(x,y,z)=(x y z) A t(x y z)、Aは、上から、
A=(2 -1 1)(|-1 2 -1)(|1 -1 2)
で与えられているとします。上記の二つの積分を求めたいのですが、（１）に関しては次のように考えました。
（１）まず、Q(x,y,z)の標準化を考え、直行行列Pを用いてAを対角化します。そうすると、Pは（ただし、Aの固有値は4、1)、上から(最初の(1/√6)は係数）、
P= (1/√6)(√2 -√3 1)(-√2 0 2)(√2 √3 1)
となり、U=tPAPと置くと、A=PUtPとなるので、
Q(x,y,z)=t(tP t(x y z)) U tPt(x y z)。
ここで、(x' y' z')=tPt(x y z)と置くと、
Q(x,y,z)=t(tP t(x y z)) U tPt(x y z)=(x' y' z')Ut(x' y' z')=F(x',y',z')
と変換でき、またヤコビアンJ(x',y',z')=-2/3より、
∫∫∫[R^3] e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
=(2/3)）∫∫∫[R^3] e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
となります。よって、
(2/3)）∫∫∫[R^3] e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
=(2/3)∫[-∞,∞] e^(-4x'^2)dx'∫[-∞,∞] e^(-y'^2)dy'∫[-∞,∞] e^(-z'^2)dz'
ここで、x'=(1/2)sと置くと、上式は、
=(1/3)∫[-∞,∞] e^(-s^2)ds∫[-∞,∞] e^(-y'^2)dy'∫[-∞,∞] e^(-z'^2)dz'
=(1/3)(∫[-∞,∞] e^(-s^2)ds)^3
ここで、∫[-∞,∞] e^(-x^2)dx=√π より、
=(1/3)π√π
となりましたが、これで正しいでしょうか？また、（２）に関しては、
∫∫∫[R^3] (x^2 + y^2 +z^2)e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
=∫∫∫[R^3] (x'^2 + y'^2 +z'^2)e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
としたところで止まってしまいました。どうやって考えればよいのでしょうか？
以上です。どなたかお力添えしていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。長文失礼しました。
お礼
前作の論文などを見たのですが、おっしゃる通り"開核" を表す記号のようです。紹介して頂いたHP や位相数学の最初の方を読んだのですが、閉集合[0,∞) を X と呼ぶとき、(0,∞)は開核であり X°と表記するそうです。文中のv(・) はLog 関数の様に、v(0) では不連続なので、集合をX°にして、C1 の定義域からゼロを除外しているようです。 良い勉強になりました。fushigichan さんを始めとして皆様方、お忙しい中、書き込みありがとうございました。
補足
fushigichan 、kaitouman 、 plini- 、imh さん 回答ありがとうございました。良くまとめられていて、使いやすそうなホームページありがとうございます。 （しかし、厳密な数学は苦手なのです。。。） 確認させていただきたいのですが、 (1) x >> 0 「 xは1より非常に大きい。 」 これは、ゼロより非常に大きい。つまり、”十分大きな正の数”ということでしょうか。( 1 より大きい、を表すのでしょうか？) ＞(2) 1 >> e 昔、こういう表記は、”ほとんどゼロに近い正の数”と聞いた様な記憶があるのですが、もし、e > 0 という仮定もあれば、”ほぼゼロ”というイメージで良いのでしょうか。 一般的な使われ方がわかれば満足なのですが、もし、この e > 0 という仮定がなければ、 e は負値も含むのでしょうか。 ＞(3) X の上に白丸がある。 実はこの文は、理論経済学の論文なのですが、(下記のものです。その論文のページ番号2 の Assumption2.3です。） http://www.rieb.kobe-u.ac.jp/academic/ra/dp/English/dp116.pdf C1（１は右上付）は一階微分可能、Xt は n x n の正の実数空間？ で白丸は（商品の数等なので）正の実数を表しているのではないかと思っていました。つまり、”vt は、正の実数において、一階微分可能で凹関数”と読みます。 もし白丸が”開核”を意味する場合、”開核-> 有界 -> コンパクト -> 連続 ”というミクロ経済学（位相数学？）でよく出てくる流れを考えると、”vt は、連続で一階微分可能な凹関数”とこちらの方がよく見かける表現で納得も行きます。（開核-> 連続の流れはよくわかりませんが。）そうすると、白丸は関数の連続性を表していることになるのかと思うのですが、普通は "continuous" とか表記されるのではないかとも思います。 (長文になりすみません。もし、お暇なら論文の Assumption も見ていただければと思います。)