数I 二次関数の問題

質問

関数f(x)がf(x)=-1/2x^2+2｜x-1｜+1/2で与えられている。
点A(-3,6)を通り、曲線y=f(x)に接する直線の方程式を求めよ。

少し調べたところ微分を使うみたいな事が書いてあったのですが、まだ習っていない範囲なので数Iの範囲内で解答していただくと有難いです。

回答No.8

noname#227255

ANo.6を含めたANo.2の補足です。
次のように考察すると、より適切です。

点A(-3,6)を通り、関数(2)に接する直線を、f(x)=3x+15とすると、
-x^2/2-2x+5/2=3x+15
であるから、これを変形すると、
x^2+10x+25=0
(x+5)^2=0
これから、重解はx=-5＜1であるから適

点A(-3,6)を通り、関数(2)に接する直線を、f(x)=-x+3とすると、
-x^2/2-2x+5/2=-x+3
x^2+2x+1=0
(x+1)^2=0
これから、重解はx=-1＜1であるから適

また、求める直線を、f(x)=k'(x+3)+6=k'x+3(k'+2)とおき、これが関数(1)の接線になることを考えると、
接点のx座標は、
-x^2/2+2x-3/2=k'x+3(k'+2)
を満たすので、これを変形して、
x^2+2(k'-2)x+3(2k'+5)=0－(4)
f(x)=k'x+3(k'+2)が関数(1)の接線になるためには、2次方程式(4)の判別式D=0
よって、D/4=(k'-2)^2-3(2k'+5)=k'^2-10k'-11=(k'+1)(k'-11)=0
これから、k'=-1，11

点A(-3,6)を通り、関数(1)に接する直線を、f(x)=-x+3とすると（k'=k=-1）、
-x^2/2+2x-3/2=-x+3
であるから、これを変形すると、
x^2-6x+9=0
(x-3)^2=0
これから、重解はx=3≧1であるから適

点A(-3,6)を通り、関数(1)に接する直線を、f(x)=11x+3(11+2)=11x+39とすると、
-x^2/2+2x-3/2=11x+39
であるから、これを変形すると、
x^2+18x+81=0
(x+9)^2=0
これから、重解はx=-9＜1であるから不適

以上から、求める直線は、
f(x)=3x+15
f(x)=-x+3

回答No.7

statecollege

No1です。微分が分からないとこの問題は無理と書きましたが、直線と2次曲線が接するためには、これら２つの曲線がただ一か所で交わる、つまり２つの式を連立させて、重解をもつ条件を調べればよいので、微分は知らなくても解くことができます。No1の回答を撤回します。ほかの方の回答が正しく解いているので見てください。

回答No.6

noname#227255

回答の一部訂正です。

グラフを描けば、k=3は明らかで、あとはk=-1としたf(x)=-x+3(-1+2)=-x+3が、関数(1)の接線になるかどうかを確認します。
-x^2/2+2x-3/2=-x+3
これを変形して、
x^2-6x+9=(x-3)^2=0（重解をもつので接線になります。）

※x^2-6x+9の後に「-」が入っており、「=0」が欠落していました。

回答No.5

noname#232123

f(x)=(-1/2)x^2+2|x-1|+1/2、g(x)=6+m(x+3) のグラフが「接する」とは、
xの２次方程式、f(x)=g(x) ...(*) が、a(x-p)^2=0 の形であること、すなわち、
(*) の判別式=0 ということです。
もちろんその前に、絶対値記号を定義にしたがってはずし２つの関数を定義域とともに正しく導くことが必要です。(Yahoo知恵袋ではこの基本部分が処理できない人が多いので・・・)。
あとはただ計算だけです。
------------------------
※ y=-x+3, y=3x+15.

回答No.2

noname#227255

とにかくグラフを描きましょう。

・x-1≧0→x≧1のとき
f(x)=-x^2/2+2(x-1)+1/2=-x^2/2+2x-3/2(=-(x-2)^2/2+1/2)－(1)

・x-1＜0→x＜1のとき
f(x)=-x^2/2-2(x-1)+1/2=-x^2/2-2x+5/2(=-(x+2)^2/2+9/2)－(2)

求める直線を、f(x)=k(x+3)+6=kx+3(k+2)とおき、まずこれが関数(2)の接線になることを考えると、
接点のx座標は、
-x^2/2-2x+5/2=kx+3(k+2)
を満たすので、これを変形して、
x^2+2(k+2)x+(6k+7)=0－(3)
f(x)=kx+3(k+2)が関数(2)の接線になるためには、2次方程式(3)の判別式D=0
よって、D/4=(k+2)^2-(6k+7)=k^2-2k-3=(k+1)(k-3)=0
これから、k=-1，3

グラフを描けば、k=3は明らかで、あとはk=-1としたf(x)=-x+3(-1+2)=-x+3が、関数(1)の接線になるかどうかを確認します。
-x^2/2+2x-3/2=-x+3
これを変形して、
x^2-6x+9-=(x-3)^2（重解をもつので接線になります。）

以上から、求める直線は、
f(x)=3x+3(3+2)=3x+15
f(x)=-x+3

回答No.1

statecollege

微分が使えないなら、この問題は無理ですね。曲線に接する直線の傾きはその点での、その曲線を表わす関数の微分の値（微係数）なのです。微分を習ってからこの問題を解いてください。