数学の問題がわかりません

質問

数学の問題がわかりません
3次関数f(x)=x^3-3x^2+x-1と、点(1,-2)を通り傾きaの直線とが
異なる3個の共有点を持つためのaの範囲を求める問題と、
更にこのaがa>0の時、導関数f'(x)が描く曲線y=f'(x)とこの直線で囲まれる面積の問題がわかりません
どっちかだけでもいいので、わかる方どうやって解くのか教えてください

回答No.3

noname#106147 · ベストアンサー

点(1,-2)を通り傾きaの直線の方程式は
y=a(x-1)-2であるからその方程式と
3次関数f(x)=x^3-3x^2+x-1との異なる3個の共有点を持つためのaの範囲を求める。
g(x)=x^3-3x^2+x-1-{a(x-1)-2}とおいて
g(x)=0となる異なる3個の解をもつaの範囲を考える。
xで微分した導関数g'(x)=3x^2-6x＋1-a=3(x-1)^2-2-a
さらにx=1のときaの値に関係なくg(x)=0となることが保証されている。g'(x)=0となるxが異なる２つの解をもつためには-2-a<0
すなわちa>-2・・・・・(1)
ここでg'(1)=-2-aだから(1)を満たせば自動的にg'(1)は0でない。
実は(1)を満たしただけで3次関数f(x)=x^3-3x^2+x-1と、点(1,-2)を通り傾きaの直線とが異なる3個の共有点を持つ。
これはちょっとヒントあげるとg(x)とg'(x)のグラフをてらしあわせて考えるとすぐにわかる。
a>0の時、導関数f'(x)が描く曲線y=f'(x)とこの直線で囲まれる面積を考える。f'(x)=3x^2-6x＋1、h(x)=3x^2-6x＋1-{a(x-1)-2}とおいて
y=h(x)とy=0で囲まれる面積を求めればいい。
これはh(x)=0となる値をa,bなどとおいて
ただしa<bとして、aからbまでh(x)を積分してさらに絶対値をつけた値が答えである。(これは自分でやってみてください)

お礼

できました！
詳しい解説ありがとうございました
お二方もありがとうございました

回答No.2

gohtraw

ｆ（ｘ）のグラフが書けたら、次は点（１、－２）を図上にとり、この点を中心としてグリグリ回る直線を考えてみます。どんな時に問題の指定する条件が満たされるでしょうか？

回答No.1

wkbqp833

まず、確認しますね

あなたは、3次関数f(x)=x^3-3x^2+x-1のグラフが描けますか？話はそこからです