偏微分方程式の計算過程（波動方程式？）

質問

r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)で、u=u(x,y,z,t)={f(r－ct)}/rのときの、∂u/∂tと∂u/∂xの求め方を詳しく教えてください。特に、fの扱いがわかりません。

ちなみに、∂r/∂x＝x/rになることは、計算してわかりました。

回答No.1

info222_

u={f(r－ct)}/r, r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2),
∂r/∂x＝x/r,
v=r-ct, ∂v/∂t=-c,∂v/∂x=(∂v/∂r)(∂r/∂x)=x/r

∂u/∂t=((1/r)df/dv)(∂v/∂t)=(f '/r)(-c)=-(c/r) f '(r-ct)

∂u/∂x=(1/r)(df/dv)(∂v/∂x)+f (d(1/r)/dr)(∂r/∂x)=(x/r^2)f ' +f (-1/r^2)(x/r)
=(x/r^2) f ' (r-ct) -(x/r^3) f (r-ct)

お礼

ありがとう

補足

なるほど、v=r-ctと変数変換するんですね！

しかし、「∂u/∂t=((1/r)df/dv)(∂v/∂t)」

の部分の意味がよくわかりません。

また、「(f '/r)(-c)」や、後ろの方の「(x/r^2)f '」とは何でしょうか？