偏微分方程式（３次元）の問題です・・・

質問

∂^2u/∂t^2=c^2(∂^2u/∂x^2∂^2u/∂y^2)
境界条件は
u(0,y,t)=u(a,y,t)=u(x,0,t)=u(x,b,t)=0
U(x,y,t)=f(x),∂u/∂t=g(x)

を解け、という問題が分かりません。
変数分離で考えると
U=T(t)U(x,y)
とまずおいて、その後U(x,y)をさらに分離して考えると聞いたのですが・・・
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

境界条件 u(x,y,t) = f(x) が正しいとすると、 u(x,y,t) = f(x) = g(x) = 0 という結果になってしまいます。これは周囲が固定されている矩形膜の振動を求める問題だと思いますが、 u(x,y,t) は膜の形状を表わしているので、u(x,y,t) = f(x) が正しいとすると、膜はいつもこの形状を保っていることになります。普通は、t = 0 での膜の形状（初期形状）を u(x,y,0) = f(x,y) などとして与えます。もう１つおかしい点があります。もし、初期形状が x だけの関数 u(x,y,0) = f(x) なら、周辺固定の境界条件 u(x,0,t) = u(x,b,t) = 0 を満たそうとすると f(x) = 0 とするしかありません。もう１度境界条件を確認してください。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

inara1

微分方程式は
　　∂^2u/∂t^2 = c^2*(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 )
の間違いだと思いますが、境界条件の２行目は u( x, y, 0 ) = f(x) が正しいのでは？
u( x, y, t ) = f(x) だと定常状態の問題になってしまいます。

お礼

御回答ありがとうございます。微分方程式の表記についてはその通りでこちらのミスでした。すみません。しかし後者の条件
については正しいようです。直交関数変換とやらを使うらしいですが・・・