微分方程式について

質問

微分方程式の作り方を教えてください。

　 (0,0)に質量mの動かない星があり、そのまわりを動く星の動きについての式です。
　時刻tにおける位置(x(t),y(t))、速度を(u(t),v(t))としたとき

x'(t) = u(t) , y'(t) = v(t)
u'(t) = -mx(t)/(x(t)^2 + y(t)^2)^3/2 v'(t) = -my(t)/(x(t)^2 + y(t)^2)^3/2

　このように表わされる。
　さらに、(1,0)に質量Mの動かない星を加えると、この式はどのようになるか。

　見にくいですが、分母は２分の３乗です。
　いろいろ計算しましたがわかりませんでした。
　よろしくお願いします。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

>u'(t) = -mx(t)/(x(t)^2 + y(t)^2)^3/2

で右辺は m による重力の x 成分です。(x^2 + y^2)^(1/2) = {(x-0)^2 + (y-0)^2}^(1/2) は m との距離 r、m/r^2 が重力の大きさ（万有引力定数 G ≡ 1）、x/r = (x-0)/r は x 成分の割合（cosθ）、符号「-」は引力であることを表します。

M の位置は (1,0) ですから、M との距離は　{(x-1)^2 + y^2)}^(1/2)、x 座標の差は x-1 ですから、M による重力の x 成分は
-M(x-1)/{(x-1)^2 + y^2)}^(3/2)。

これを元の式に加えて
u' = -mx/(x^2 + y^2)^3/2 -M(x-1)/{(x-1)^2 + y^2)}^(3/2)。

v についても同様にして
v' = -my/(x^2 + y^2)^3/2 -My/{(x-1)^2 + y^2)}^(3/2)。