ナブラの計算（波動方程式）

質問

物理電磁気学の波動方程式のナブラの計算
波動方程式　∇^２ E=ε_０ μ_０ (∂^２ E)/(∂t^２ )
　　∇^２=∂^２/(∂x^２ )＋∂^２/(∂y^２ )＋∂^２/(∂z^２ )
　　平面波　E=E_０ e^(i(k・r-ωt))
　　ik・r =i(k_x x+k_y y+k_z z)

平面波の式を波動方程式に代入すると -k^2 E_0 e^(i(k・r-ωt))=-ω^2 ε_０ μ_０ E_０ e^(i(k・r-ωt)) となる。
この左辺がどのようにしてこの値になるかを教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

E=E_0e^{ik_xx}e^e^{ik_yy}e^{ik_zz}e^{-iωｔ}

となりますから，例えば∂/∂xは因子e^{ik_xx}だけに作用して，

∂E/∂x=E_0ik_xe^{ik_xx}e^e^{ik_yy}e^{ik_zz}e^{-iωｔ}

すなわち

∂E/∂x=ik_xE

となります．もう一度作用させると

∂^2E/∂x^2=E_0(ik_x)^2e^{ik_xx}e^e^{ik_yy}e^{ik_zz}e^{-iωｔ}

すなわち

∂^2E/∂x^2=(ik_x)^2E

となります．∂/∂ｙ，∂/∂zについても同様で

∂^2E/∂y^2=(ik_y)^2E, ∂^2E/∂z^2=(ik_z)^2E

になります．これらを加えると

∂^2E/∂x^2+∂^2E/∂y^2+∂^2E/∂z^2

={(ik_x)^2+(ik_y)^2+(ik_z)^2}E

∇^2E=-(k_x^2+k_y^2+k_z^2)E=-k^2E_0 e^(i(k・r-ωt))

となります．

お礼

詳しい解説をありがとうございました！すごくわかりやすかったです。

回答No.1

Tacosan

「k^2」が何を意味するか分かっていますか?

ラプラシアンはちゃんと計算できますか?

補足

k^2は2π^2/λ^2でラプラシアンは質問に書いた式ではないですか？