波動方程式の解き方

質問

r=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)で、u=u(x,y,z,t)={f(r－ct)}/rのときの、∂u/∂tと∂u/∂xの求め方を詳しく教えてください。特に、fの扱いがわかりません。

（ちなみに、∂r/∂x＝x/rになることと、v＝r－ctと変数変換すればよいところまでは理解できました。）

よろしくお願い致します。

回答No.3

jcpmutura

f'はdf/dtでもdf/dxでもなく
f'(v)=df(v)/dv
f'(r-ct)=df(r-ct)/d(r-ct)
f'(r-ct)=df(v)/dv_{v=r-ct}
のように
f'(r-ct)は()の中のr-ctを1変数v=r-ctとして
f(v)のvによる微分です

f(v),v→f(v),は合成関数ではありません
vはrとtの多変数関数だけれども
f(v)はvに関して1変数関数です.

f'(r-ct)
は
f(v)のvによる微分
f'(v)
を求めた後に
v=r-ct
と代入したものです

例えば

f(v)=v^2
とすると

f(r-ct)=(r-ct)^2

f'(v)=2v
だから
f'(r-ct)=2(r-ct)
となります。

お礼

ありがとうございmath

回答No.2

jcpmutura

f'はdf/dtでもdf/dxでもなく
f'(v)=df(v)/dv
f'(r-ct)=df(r-ct)/d(r-ct)
f'(r-ct)=df(v)/dv_{v=r-ct}
のように
f'()は()の中の全部を1変数とおいて
その1変数による微分です

お礼

勉強になりました。ありがとうございました。

補足

それは、合成関数の微分ですか？

vはrとtの多変数関数な気がしますけど。

回答No.1

jcpmutura

r=√(x^2+y^2+z^2)
u=u(x,y,z,t)={f(r-ct)}/r

v=r-ct
とすると

∂u/∂t
=∂{f(r-ct)/r}/∂t
=∂{f(v)/r}/∂t
={∂f(v)/∂t}/r
=(∂v/∂t)f'(v)/r
=-cf'(r-ct)/r

∂u/∂x
=∂{f(r-ct)/r}/∂x
=∂{f(v)/r}/∂x
={∂f(v)/∂x}/r+f(v){∂(1/r)/∂x}
=(∂v/∂x)f'(v)/r+f(v)(-1/r^2)(∂r/∂x)
=(∂r/∂x)f'(v)/r+f(v)(-1/r^2)(x/r)
=(x/r)f'(v)/r+f(v)(-x/r^3)
=xf'(v)/r^2-xf(v)/r^3
=x{rf'(v)-f(v)}/r^3
=x{rf'(r-ct)-f(r-ct)}/r^3

お礼

ありがとうございます。ところで、これは連鎖律か何かですか？

補足

画像の「f'」というのは、df/dt なのか df/dx なのか ∂f/∂t なのか ∂f/∂x なのかわかりません。 また、それは（多変数の）合成関数の微分の公式か何かですか？

よろしくお願い致します。