偏微分

質問

微分できる関数f(t)に対して、z=f(x+2y)とおく。このzが∂z/∂x＋∂z/∂y＋z=0を
満たし、かつf(0)＝２となるf(t)を求めなさい。

f(t)に対して、z=f(x+2y)とおくという意味がよくわかりません。
∂z/∂x＋∂z/∂y＋z=0を計算すれば
f(1)+f(2)+f(x+2y)=0
そこからわかりません・・

よろしくお願いしますm(__)m

回答No.3

T-gamma

f(1)+f(2)+f(x+2y)=0
はたぶん間違いです。
ｔ＝ｘ+２ｙとおくと、
∂ｔ/∂x＝１
∂ｔ/∂y＝２
であるので
∂z/∂x＝（∂z/∂ｔ）（∂ｔ/∂x）＝（∂z/∂ｔ）　
∂z/∂y＝（∂z/∂ｔ）（∂ｔ/∂y）＝2（∂z/∂ｔ）
よって∂z/∂x＋∂z/∂y＋z=0は
∂z/∂ｔ+2（∂z/∂ｔ）+ｚ＝0
3（∂z/∂ｔ）+ｚ＝0
となります。変数が２つのみとなったのでもう編微分の記号は微分の記号に変えても構いませんので、
3（dz/dｔ）+ｚ＝0
あとはこの微分方程式を解けばいいです。
積分定数を決定するための条件はｔ＝ｘ+２ｙ＝0のとき、ｚ＝ｆ（0）＝２です。

回答No.2

hitokotonusi

＞f(t)に対して、z=f(x+2y)とおくという意味がよくわかりません。

具体的に書いてみればわかるんじゃないかな。

たとえば、

y=t^2

ならt=x+2yで

y=(x+2y)^2

y=sin(2π/T)z

でz=t-x/vとすれば

y=sin(2π/T)(t-x/v)=sin(ωt - kx)
[ω=2π/T, k=2π/λ=2π/(vT)]

とか。

回答No.1

koko_u_

>f(t)に対して、z=f(x+2y)とおくという意味がよくわかりません。
元々 f は実数 t に対して値を与えるけれど、
f(x+2y) を考えて、2実数 x, y から値を与える関数 R x R -> R ( (x, y) -> f(x+2y) ) を考えた。
ということ。

>f(1)+f(2)+f(x+2y)=0
>そこからわかりません・・
偏微分を復習しましょう。