偏微分方程式

質問

この問題の解き方を教えて下さい.
「∂u/∂x - ∂u/∂y = 0 , u(x , 0) = x^2 + 2x
v(s , t) = u(s + t, s - t)とおいてu(x , y)を求めよ.」

<解いたやり方>
s = (x + y)/2 , t=(x - y)/2
∂v/∂s = (∂u/∂x )*1 + (∂u/∂y )*1
ここから先の考え方を教えて下さい。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

s=x+y, t=x-y と変数変換します。
関数uは面倒なので、同じ文字を使用します。つまり、u(x,y)→u(s,t)と考える。

連鎖率により
∂u/∂x=∂u/∂s・∂s/∂x + ∂u/∂t・∂t/∂x=∂u/∂s・1 + ∂u/∂t・1
∂u/∂y=∂u/∂s・∂s/∂y + ∂u/∂t・∂t/∂y=∂u/∂s・1 + ∂u/∂t・(-1)

両辺の差を取って
∂u/∂x-∂u/∂y=2∂u/∂t=0　・・・(1)

uを変数tで平均値の定理と(1)を使うと
u(s,t)=u(s,0)+t(∂u/∂t)(s,θt)=u(s,0)=f(s)

つまり、u(s,0)を一般的な関数f(s)をとって
u=f(x+y)

と表される。初期条件を入れると

u(x,0)=f(x+0)=x^2 + 2x
上の式で、x→x+y とすると解が得られる。

u=(x+y)^2 + 2(x+y)

お礼

ご回答ありがとうございました。
テストにも類似問題が出ましたが解くことが出来ました。