複素数の積分

質問

C:lz-il=3とする。
このときに次の積分を求めよという問題です。
(1)∫C　z^2/(z^2+z-2)
(2)∫C　e^(πz)/(z^2-3iz)

答えは-2πi、-4/3πです。
コーシーの積分で解こうと思っているんですが
分母を因数分解した両方がCの領域内に入っているので
できません（ーー；よろしくお願いします。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に
領域Cの内側の極をはずせば連続という意味なので
領域C内の留数に2πiをかけたものが答えです。

(1)　留数
lim(z+2)f(z)+ lim(z-1)f(z)=-4/3+1/3=-1
z→-2 ------- z→1
∫C　z^2/(z^2+z-2)=-2πi

(2)　留数
lim zf(z)+ lim(z-3i)f(z)
z→0 ----- z→3i
=-4/3+1/3=-1/3i +e^(3πi)/3i
=-2/3i
∫C　e^(πz)/(z^2-3iz)=-4π/3