留数

質問

f(z) = z^2 / (1+z^2)^2
の点 z=i における留数を求めよ．
という問題なのですが・・・

z^2 / (1+z^2)^2 を因数分解すると
z^2 / (1+z^2)^2 = z^2/4 {1/(1+iz)^2 + 1/(1-iz)^2}
となるのですが・・・

z=i 近傍でテーラ展開するとき
1/(1+iz)^2 と 1/(1-iz)^2 の両方ともが ∞ の項を含んでしまいます．
何かテーラ展開のときにテクニックが必要なのでしょうか？

回答No.4

totoro7683 · ベストアンサー

f(z)=z^2/(z+i)^2(z-i)^2より
z=iでｆは２位の極をもちます。
留数とはｚ＝iを中心にローラン展開したとき
（z-i)^{-1}の係数です。
この場合の留数は
lim(z→i)d/dz{(z-i)^2f(z)}
で与えれます。

お礼

ありがとうございます．
解決しました．
lim(z→i)d/dz{(z-i)^2f(z)}
とする他に，
z=i+t
としてt=0でローラン展開してもできました．

回答No.3

proto

留数を求めるにはテイラー展開するのではなく、ローラン展開しなければなりません。
f(z)をローラン展開したときの(z-i)^(-1)の係数が留数になります。

回答No.2

noname#101087

f(z) = z^2 / (1+z^2)^2
の点 z=i における留数は、z^2 / (1+z^2)^2 を部分分数に展開したときの 1/(z-i) の係数に相当します。
この例では分母に(z-i)^2の項を含むので、部分分数展開のとき要注意。

(参考ページ)
　http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/complex/node39.html

回答No.1

N64

留数の定理を使って求めるのではないでしょうか。