複素数の積分。

質問

∫　　sinz / {(3z-1)(4z-1)} dz
　c

cは単位円

この積分ができません。なるべくコーシーの積分公式を使ってときたいのですが、z=1/3　も　z=1/4 もｃの外部にあるわけじゃないので、どう適応させればいいのかがわかりません。　わかる方教えてください。

回答No.4

grothendieck

rouseiさん、こんにちは。コーシーの積分公式が問題なく適応できると思います。部分分数に分解して
　∫c{sinz /(z-1/3)}dz-∫c{sinz /(z-1/4)}dz
(ここまではmmkyさんと同じ)これをコーシーの積分公式
　f(z) =(1/2πi)∫c{f(ζ)/(ζ-z)}dζ
と比べると求める積分は
　2πi(sin(1/3)-sin(1/4))
になると思います。(留数定理でも同じ)

回答No.3

mmky

#3です。ごめん記載ミス、修正しておきます。
修正
「だから
虚数部をとれば、
∫{sinx/(x-1/3)}dx=πcos(1/3)
同様に
∫{sinx/(x-1/4)}dx=πcos(1/4)
ということで 」
修正のみ

回答No.2

mmky

参考程度に
∫sinz / {(3z-1)(4z-1)} dz

1/(3z-1)(4z-1)=3/(3z-1)-4/(4z-1)
=1/(z-1/3)-1/(z-1/4)
だから2つにわけて
=∫{sinz /(z-1/3)}dz-∫{sinz /(z-1/4)}dz
そこで、
I=∫{e＾iz /(z-1/3)}dz
Cεをz=1/3 を中心とした小さい半径εの半円と置いて、
小さい半円を通る上半分の半円積分路Crを考えれば、
実軸上位外は半円の半径ｒ→∞、∫→0　　
だから結果として、
∫{e＾ix /(x-1/3)}dx-πi*e＾i/3=0
{註：∫(Cε) =(1/2)(-2πi)e＾i/3}
また、
πi*e＾i/3=πi{cos(1/3)+isin(1/3)}
だから
虚数部をとれば、
∫{e＾ix /(x-1/3)}dx=πcos(1/3)
同様に
∫{e＾ix /(x-1/4)}dx=πcos(1/4)
ということで
∫sinz / {(3z-1)(4z-1)} dz
=π{cos(1/3)-cos(1/4)}
という感じになりますね。

回答No.1

keyguy

１／３の周りを左回りに１回回る小さな円をｃ１とし
１／４の周りを左回りに１回回る小さな円をｃ２とする。

コーシーの大定理により
∫（ｃ）ｄｚｓｉｎ（ｚ）／（３ｚ－１）／（４ｚ－１）＝
∫（ｃ１）ｄｚｓｉｎ（ｚ）／（３ｚ－１）／（４ｚ－１）＋
∫（ｃ２）ｄｚｓｉｎ（ｚ）／（３ｚ－１）／（４ｚ－１）