ベッセルの微分方程式について

質問

ベッセルの微分方程式は標準形で、
x^2(d^2f/dx^2)+x(df/dx)+(x^2-n^2)f = 0
となっています。ある種の物理現象を常微分方程式化してこの形に帰着させると、あとはベッセル関数などを使った定型処理に持ち込めるので、何とかこの形に持ち込むまで頑張るということになると思います。
質問ですが、x^2(d^2f/dx^2)+x(df/dx)+ x c f = 0 という形になった場合、これはベッセルの微分方程式ではない、ということになるでしょうか。左辺最終項の形が標準形と違います。ある文献で”ベッセルの微分方程式になる”と断言されているのですが、標準形にならないので思案しています。例えば、独立変数を変換して式も変換すると標準形になるのでしょうか。よろしくお願いします。

よく、ベッセル、ラゲールなどの微分方程式は級数解を使いますが、いろんな現象から式を変形して標準形に本当にきれいに帰着できるものでしょうか。ちょっと違うとか亜種があるのかなと思いますが。

よろしくお願いします。

回答No.3

EH1026TOYO

ANo.1・・!
計算ミスってた　<(_ _)>
u"＋3u'/x＋(c/x＋1/x²)u=0
を
u"+(1-2α)/x+{(βɤx^(ɤ-1))²＋(α²-ν²ɤ²)/x²}u=0
と比較して
α=-1 , β=2√c , ɤ=1/2 , ν=0
u=(1/x)*Ｚ₀(2√cx^(1/2))これをfに代入し
f=Ｚ₀((2√c)x^(1/2))　　(Ｚ₀(x)は(0次の)円筒関数を代表して表記したもの)

回答No.2

jcpmutura

x^2f"+xf'+xcf=0
両辺をxで割ると
xf"+f'+cf=0…(1)
となる
x=t^2/(4c)…(2)
g(t)=f(t^2/{4c})…(3)
として両辺をtで微分すると
g'=tf'/(2c)…(4)
↓さらに両辺をtで微分すると
g"=f"t^2/(4c^2)+f'/(2c)…(5)

(1)に(2),(3)を代入すると
f"t^2/(4c)+f'+cg=0…(6)

(4)の両辺に2c/tをかけると
2cg'/t=f'…(7)
↓これを(4)に代入すると
g"=f"t^2/(4c^2)+g'/t
↓両辺からg'/tを引くと
g"-g'/t=f"t^2/(4c^2)
↓両辺にcをかけると
c(g"-g'/t)=f"t^2/(4c)
↓これと(7)を(6)に代入すると
c(g"-g'/t)+2cg'/t+cg=0
↓両辺にt/cをかけると
tg"-g'+2g'+tg=0
tg"+g'+tg=0
↓両辺にtをかけると
(t^2)g"+tg'+(t^2)g=0
↓
t^2(d^2g/dt^2)+t(dg/dt)+(t^2-0^2)g=0
∴
g(t)=f(t^2/{4c})
は(n=0)の
ベッセルの微分方程式の解である

なお
f=ux
とおいて
f'=u'x+u
f"=u"x+2u'
を
f"+(1/x)f'+cf/x=0
に代入すると
u"x+2u'+u'+(u/x)+cu=0
u"x+3u'+(c+1/x)u=0
両辺をxで割ると
u"+3u'/x+(c/x+1/x^2)u=0
となって
u"+3u'/x+(c+1/x^2)u=0
とはなりません

元の微分方程式
xf"+f'+cf=0
の解は
f=Σ_{n=0～∞}{(-cx)^n}/(n!)^2

お礼

回答ありがとうございます。確認しました。ベッセルの微分方程式になることに疑問を持っていました。今一度式を書くと
x^2(d^2f/dx^2)+x(df/dx)+(x^2-n^2)f = 0
x^2(d^2f/dx^2)+x(df/dx)+ x c f = 0

違うのは左辺最後の項だけなんですね。だから、最後の項だけを変更するなんてできないと思ったのです。そこだけ変えようとすると、変える必要がないところが変わりそうなので。でも、できてしまいますね。不思議な感じがします。例えば、物理によって誘導された式だとしたら、次元という問題に引っかかるように思ったのですが、独立変数の変換なので結局、式の形式はベッセルの微分方程式になるけれど、物理的な意味は異なるわけですが。
あのような変数変換はどうやって気が付くものでしょうか。もう暗記するだけしかないとか、問題集の解法を記憶に留めておくということでしょうか。

回答No.1

EH1026TOYO

一つのやり方として・・、
x²(d²f/dx²)+x(df/dx)+ x c f = 0
d²f/dx²＋(1/x)*df/dx＋cf/x= 0・・・(1)
f=uxとおくとf'=u'x+u , f"=u"x+2u'
(1)に代入して整理すれば
u"+3u'/x+(c+1/x²)u=0
ここで円筒関数に帰着される微分方程式の中
u"+(1-2α)u'/x+(β²+(α²-ν²)/x²)u=0　と比較してみると
α=-1 , β=√c , ν=0のベッセル微分方程式に帰着させられる
解はu=(1/x)*Ｚ₀((√c)x)　　(Ｚ₀(x)は円筒関数)

お礼

回答ありがとうございます。ベッセル関数になるようにするにはどういう変換をするのかを探すということでしょうか。
またu"+(1-2α)u'/x+(β²+(α²-ν²)/x²)u=0の解はα、β、γを使ってどう表現されるでしょうか。
私はこの質問は本当は何かの間違いだったんじゃないかと思えて不可能だと思っていたのですが。