微分方程式

質問

下記の微分方程式の解き方を教えてください。D=d/dxは微分演算子です。

(1)(D^2+25)*y=0
(2)(D^2－2*D+1)*y=x

宜しくお願いします

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

> (2)は、=xです。

すみません…よくみていませんでした。寝惚けていたのか全ての質問でミスがありますね…。他の質問に回答した "(2)(D^4－6*D^3+12*D^2－8*D)*y=0" の答えも "exp 2x" であるべき所が "exp x" になってしまっているので注意して下さい。

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取り敢えず、斉次解(右辺=0 とした時の解)を求めておきます:
　(D-1)^2 z = 0,
　z(x) = (Ax+B)exp x.
(↑奇しくも回答No.1で間違って回答した物と同じですが、No.1は意図したものではなくてただのミスです…)

斉次解を求めた後に非斉次解(右辺≠0の解)を求めることになりますが、その後の方針は色々あります。以下を御覧下さい。

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(解法1: 特殊解を見つけて斉次解を足す方針)

(2) まず特殊解として y = ax+b の形に当たりをつけて考えると、
　(D-1)^2 y = ax + b -2a ≡ x
より、a = 1, b-2a = 0 なので、a=1, b=2,
　特殊解 y = x + 2.
一般解は、斉次解 z(x) を足して
　y = x + 2 + (Ax+B)exp x, (A, B は一般解)■.

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(解法2: 定数変化法)

特殊解に当たりが付けられない場合は、定数変化法で真面目に解きます…。

(2) 斉次解 z(x) の定数 A, B を変化させる。つまり、未知関数 A(x), B(x) を以て、
　y = (A(x) x + B(x)) exp x,　…(1)
　(A'(x) x + B'(x))exp x = 0　…(2)
と仮定して元の方程式
　(D-1)^2 y = x　…(3)
を満たす A(x), B(x) を探す。(3) に (1) を代入すると、
　[A''(x)x + 2A'(x) + B''(x)] exp x = x.　…(4)
さらに (2) より B''(x) = (-A'(x)x)' = -A''(x)x - A'(x) を (4) に代入して、
　A'(x) exp x = x,
更に A'(x) x = -B'(x) より
　B'(x) exp x = -x^2.
これらを解くと、
　A(x) = -(x+1) exp(-x) + C,
　B(x) = (x^2+2x+2) exp(-x) + D, (C, D は積分定数).
上記 A(x), B(x) を (1) に代入すると、
　y = x + 2 + (C x + D)exp x, (C, D は定数)■.

回答No.1

akinomyoga

(1)
　(D+5i)(D-5i)y = 0,
　y = A exp(-5ix) + B exp(5ix), (A, B は積分定数).

※更に exp(ia) = cos a + i sin a を用いれば、
　y = A' cos 5x + B' sin(5x), (A' = A+B, B' = i(B-A))
と表し直すこともできます。

(2)
　(D-1)^2y = 0,
　y = (A x + B) exp x, (A, B は積分定数).

補足

(2)は、=xです。