∂r / ∂x の値は？

質問

お世話になります。

一般相対論の初歩を勉強中です。
読んでいる本の中で、2次元でデカルト座標と極座標の変換行列の成分として
∂r / ∂x
というのが出てきました。この計算方法がわからず困っています。

(1) r ＝ √(x^2 + y^2) を使う場合
∂r / ∂x ＝ x / r ＝ r cosθ / r ＝ cosθ

(2) x ＝ r cosθ を使う場合
r ＝ x / cosθ より ∂r / ∂x ＝ 1 / cosθ

となる気がして、そうすると(1)(2)で答えが一致しません。
どう考えればよいのか教えていただけると助かります。

よろしくお願いします。

回答No.1

shiara · ベストアンサー

(2)ですが、cosθはxの関数ですから、cosθをxの関数として微分する必要があります。

お礼

foobar様、shiara様

ありがとうございました。
おかげさまで、下記のとおり(2)でも(1)と同じ答え(cosθ)が出せました。

=====
x ＝ r cosθ
y ＝ r sinθ
それぞれ両辺をxで偏微分して
1 ＝ (∂r / ∂x) cosθ － r sinθ (∂θ/∂x)・・・(1)
0 ＝ (∂r / ∂x) sinθ ＋ r cosθ (∂θ/∂x)・・・(2)
(1)×cosθ ＋ (2)×sinθ より ∂r / ∂x ＝ cosθ
=====

回答No.2

foobar

(2)でcosθを一定として計算されていますが、それって妥当でしょうか？

お礼

ありがとうございました。解決しました。