数学 ベクトル

質問

新年明けましておめでとうございます。いきなりで申し訳ないですが、画像の問題がどうしても分からないので、ご教授願います。お願いします。4と5です。

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回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

4.
(a)
点P=(a,b,c)を通り,ベクトルu=(p,q,r)に垂直な平面の方程式は
この平面上の点の座標をX=(x,y,z)とすると
X-Pとuの内積
(X-P,u)=0
だから
(X-P,u)=((x-a,y-b,z-c),(p,q,r))
=p(x-a)+q(y-b)+r(z-c)
=px+qy+rz-pa-qb-rc
=0
∴
px+qy+rz=pa+qb+rc

(b)
原点,点(1,-1,1),(1,2,0)を含む平面の方程式は
(1,-1,1)と(1,2,0)の外積
u=(p,q,r)
=
|e1,e2,e3|
|1,-1,1|
|1,2.,0|
=
(|-1,1|,|1,1|,|1,-1|)
(|2.,0|,|0,1|,|1,2.|)
=
(-2,1,3)
に垂直な平面の方程式だから(a)から
∴
-2x+y+3z=0

(c)
a=(1,-1,1),b=(1,2,0)と垂直で大きさ1のベクトルv
(1,-1,1)と(1,2,0)の外積は(b)から
u=(-2,1,3)
で
|u|^2=4+1+9=14
|u|=√14
だから
v=u/|u|
∴
v=(-2/√14,1/√14,3/√14)

5.
原点Oを中心とする半径1の球に,正4面体ABCDが内接している
|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=1…(1)
|AB|=|AC|=|AD|=|BC|=|BD|=|CD|…(2)
(a)
|AB|^2
=(AB,AB)
=(OB-OA,OB-OA)
=|OB|^2-2(OA,OB)+|OA|^2
↓(1)から|OB|=|OA|=1だから
=2-2(OA,OB)…(a1)

|BC|^2
=(BC,BC)
=(OC-OB,OC-OB)
=|OC|^2-2(OB,OC)+|OB|^2
↓(1)から|OB|=|OC|=1だから
=2-2(OB,OC)…(a2)

(2)から
|AB|=|BC|
↓両辺を2乗すると
|AB|^2=|BC|^2
↓(a1)=これ=(a2)から
2-2(OA,OB)=2-2(OB,OC)
↓両辺から2を引くと
-2(OA,OB)=-2(OB,OC)
↓両辺を2で割ると
∴
(OA,OB)=(OB,OC)

同様に(2)から
(OA,OB)=(OA,OC)=(OA,OD)=(OB,OC)=(OB,OD)=(OC,OD)…(A)

(b)
|AB|≠0…(b1)
(OA,OB)=1…(x)
を仮定すると(1)から
|AB|^2
=2-2(OA,OB)
=1{1-(OA,OB)}
↓これに(x)を代入すると
=0
↓
|AB|=0
となって(b1)に矛盾するから
(OA,OB)≠1…(B)

(c)
3次元空間では(OA,OB,OC,OD)は1次従属だから
pOA+qOB+rOC+sOD=0
となる
(p,q,r,s)≠(0,0,0,0)…(c1)
が存在する
↓
(OA,pOA+qOB+rOC+sOD)=0
(OB,pOA+qOB+rOC+sOD)=0
(OC,pOA+qOB+rOC+sOD)=0
(OD,pOA+qOB+rOC+sOD)=0
=p|OA|^2+q(OA,OB)+r(OA,OC)+s(OA,OD)=0
=p(OA,OB)+q|OB|^2+r(OB,OC)+s(OB,OD)=0
=p(OA,OC)+q(OB,OC)+r|OC|^2+s(OC,OD)=0
=p(OA,OD)+q(OB,OD)+r(OC,OD)+s|OD|^2=0
↓これらに(1),(A)を代入すると
=p+(q+r+s)(OA,OB)=0…(c2)
=q+(p+r+s)(OA,OB)=0…(c3)
=r+(p+q+s)(OA,OB)=0…(c4)
=s+(p+q+r)(OA,OB)=0…(c5)
↓
p(p+r+s)=-(q+r+s)(p+r+s)(OA,OB)=q(q+r+s)
q(p+q+s)=-(p+r+s)(p+q+s)(OA,OB)=r(p+r+s)
r(p+q+r)=-(p+q+s)(p+q+r)(OA,OB)=s(p+q+s)
↓
p^2+pr+ps=q^2+qr+qs
pq+q^2+qs=pr+r^2+rs
pr+qr+r^2=ps+qs+s^2
↓
p^2-q^2+pr-qr+ps-qs=0
pq-pr+q^2-r^2+qs-rs=0
pr-ps+qr-qs+r^2-s^2=0
↓
(p-q)(p+q+r+s)=0
(q-r)(p+q+r+s)=0
(r-s)(p+q+r+s)=0
↓
p+q+r+s=0を仮定すると
q+r+s=-p
p+r+s=-q
p+q+s=-r
p+q+r=-s
だからこれを(c2),(c3),(c4),(c5)に代入すると
p{1-(OA,OB)}=0
q{1-(OA,OB)}=0
r{1-(OA,OB)}=0
s{1-(OA,OB)}=0
(B)から1-(OA,OB)≠0だから
p=q=r=s=0となって(c1)に矛盾するから
p+q+r+s≠0
p-q=0
q-r=0
r-s=0
だから
∴
p=q=r=s…(C)

(d)
(c2),(C)から
p+3p(OA,OB)=0
(c1),(C)からp≠0だから
1+3(OA,OB)=0
↓両辺から1を引くと
3(OA,OB)=-1
↓両辺を3で割ると
(OA,OB)=-1/3
=|OA||OB|cosθ=-1/3
↓(1)から|OA|=|OB|=1だから
=cosθ=-1/3
∴
cosθ=-1/3

お礼

ありがとうございました‼
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