確率密度関数 確率の値を求める

質問

Xの確率密度関数f(x)が

f(x)=ax(0≦x≦2のとき) ,
f(x)= 0 (x<0, x>2のとき)

で与えられるとき、定数aの値を定め、次の確率を求めよ。
(1)P(-1≦X≦1)
(2)P(0≦X≦3)

解き方なども教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

回答No.2

info222_

確率密度関数f(x) の性質より
∫ [-∞, ∞] f(x) dx=[ax^2/2] [0, 2]=2a=1 ∴ a=1/2
f(x)=x/2 (0≦x≦2のとき), f(x)=0 (x<0, 2>x のとき )

(1)
P(-1≦X≦1)=P(0≦X≦1)=∫ [0, 1] x/2) dx=[x^2/4] [0,1] = 1/4

(2)
P(0≦X≦3)=P(0≦X≦2)=∫ [0, 2] x/2) dx=[x^2/4] [0,2] = 1

回答No.1

noname#231195

ある範囲で確率密度関数を積分すればその範囲に落ちる確率が出てきます。
そして-∞から∞まで積分すると１になります。
今の場合、確率密度関数f(x)は添付の図のように感じになっています。

このことを考えれば(2)の答は見ただけで出てきます。
つまり、１です。
x<0, x>2の範囲でf(x)= 0なのですから、0≦x≦2の範囲でf(x)を積分すれば1になります。

ところで、積分するというのはグラフで考える場合、そのグラフで囲まれた範囲の面積に相当します。
今の場合、網掛けをした部分の面積が1に等しい、ということになります。
三角形の面積ですから、簡単に計算できますよね。
グラフから考えると、面積は2aであり、これが１に等しいのですから
a=1/2
ということになります。

(1)は-1≦X≦1の範囲の面積です。
-1≦X≦0は0なのですから、0≦X≦1の範囲の三角形の面積をもとめればいいわけでず。
つまり
P(-1≦X≦1)=1/4