確率で分からないところがあります。

質問

次のような関数が与えられている。Ｃは定数である。
P(x)=｛Ｃ　-1≦x≦3
０　それ以外

(1)関数P(x)が確率密度関数になるようにＣの値を求めよ
(2)上記(1)の確率密度関数P(x)をもつ確率変数の期待値を求めよ
(3)上記(1)の確率密度関数P(x)をもつ確率変数の分散を求めよ
(4)上記(1)の確率密度関数P(x)をもつ確率変数がα以上の値をとる確率を、αを用いて表せ

という問題で、Ｃ＝1/4、期待値＝5/4、分散＝67/48となったのですが、間違っていますか？
よろしければどこがどう間違っているか教えていただけませんか？
また、(4)をどうやって解いて良いか分かりません。
解き方、またはヒントを詳しく教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

kumipapa

(1) ∫p(x) dx = 1 より、∫[-1から3] C dx = 1 を解いて C = 1/4　　当たりです。

(2) 5/4 はハズレです。-1 ≦ x ≦ 3 の一様分布なのですから、期待値は 分布の真ん中である 1 になるでしょうね。期待値の定義に従って、
∫[-1から3] x p(x) dx を計算するだけです。どこがどう間違っているのかは、あなたにしか分かりません。

(3) 67/48 もハズレで、4/3 だと思います。これも定義に従って計算するのみ。∫(x - μ)^2 p(x) dx で計算するか、∫x^2 p(x) dx - μ^2 で計算するか、どちらでも（ μ は期待値 ）。

(4)
確率密度関数 p(x) をもつ確率変数を X とすると、
P(X≧α) = ∫[α から∞] p(x) dx
-1 ≦ α ≦ 3 のとき　P(X≧α) = ∫[αから∞] p(x) dx = ∫[αから3] 1/4 dx = (3 - α)/4
α＞3 なら P(X≧α) = 0、α＜-1 なら P(X≧α) = 1 は明らかでしょう。

お礼

PCが動かなくなりお礼が遅れてしまいました。
申し訳ありません。
大変参考になりました！
(２)と（３）は初歩的な計算ミスをしていました。
（４）は場合分けをするという方法だったんですね！
ありがとうございました。