途中計算

質問

ある文章問題の途中計算ですが
∫ 1/(500-x) dx = ∫ k dt　→　-log[e] l 500-x l = kt+c
となるのがわかりません。

私は
∫ 1/(500-x) dx = ∫ k dt　→　ln l 500-x l = kt+c
と違う計算になります。

∫ 1/(500-x) dx = ∫ k dt　→　∫ 1/-(x-500) dx = ∫ k dt　→
-∫ 1/-(x-500) dx = ∫ k dt　と考えても
-ln l x-500 l = kt+c　となり同じ答えにはなりません。
どうして-log[e] l 500-x l = kt+c　になるのか説明して頂けますか？　（lnとlog[e] が同じなのは知っています）

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

> ∫ 1/(500-x) dx = ∫ k dt　→　ln l 500-x l = kt+c ... X
>-ln l x-500 l = kt+c ... O

x>500 の時
x-500=u (>0) , dx=du
∫ 1/(500-x) dx= - ∫ 1/u du= -ln(u) +c= -ln(x-500) = -ln|x-500|+c

x<500 の時
500-x=u (>0) , -dx=du, dx= -du
∫ 1/(500-x) dx= ∫ 1/u (-du)= - ∫ 1/u du= -ln(u) +c= -ln(500-x) = -ln|x-500|+c

まとめると
∫ 1/(500-x) dx= -ln|x-500|+c (x≠500 の時)

∫ 1/(500-x) dx = ∫ k dt
-ln|x-500|= kt+c
が正しいです。

お礼

しょっぱなから凡ミスをしていますね、気づかせて頂き感謝です。
詳しく説明して頂き有り難うございます、こんなに深くは考えていませんでした。
という事は教科書の途中計算は間違っています。

有り難うございました。

回答No.1

alain13juillet

|X-1|=|1-X|だからです。

お礼

絶対値が付くのでどちらでもいいという事ですね、有り難うございました。