数学の問題が解けません

質問

微分の導関数の問題です。問題も、難しく、ネットで書くのが、難しいので、写真を同封します。宜しくお願いします。

回答No.3

tmpname

一度解いてみて、分からないところを詳しく書いてください。ヒントをみました、全部わかりません、というのはなしです。

補足

ありがとうございました。又、お願いします。

回答No.2

tmpname

訂正
(2)「y(m)であるが」 → 「y(m)→0であるが」
(3)は「lim(n→∞)g(x(n))を考えよ」です。

回答No.1

tmpname

せめて画像の向き位どうにかしてほしいです。
ヒントだけ書きます。
「lim(x→a) f(x) = b ⇔ 『lim(n→∞) x(n) = aを満す任意の数列x(n)に対し、lim(n→∞) f(x(n)) = b』」(Z)という、よく知られた収束条件に関する命題を利用します。

以下命令調で書きます。
(1)「f(x)がx=0で連続のとき」ですよね？問題文が少し変。
直観的に「lim(n→∞)C(n) = C」(A)というのが答えというのは分るはず。あとはこれが必要十分である事を示す。
(A)が必要なこと：
f(x)がx=0で連続であるから、0 に収束する数列を考える。x(n) = 1/(n+1)を考え、lim(n→∞) f(x(n))を考えよ。
(A)が十分なこと：
lim(n→∞)C(n) = Cだから、任意のεに対し、ある正整数Nがあって、任意のn≧Nなる正整数nに対し、|C(n) - C| < εとなる。
この時、|x| < 1/(n+1)なるxに対し、|f(x) - C|の値を評価せよ。

(2)直観的に「f'(0) = 0 のはず」というのは分るはず。x≠0で定義されるg(x) = (f(x) - f(0) ) / xを考え、x→0における g(x)の極限を考える

さて、少なくともC(n) ≧ Cとなるnが無限個あるか、C(n) ≦ Cとなるnが無限個ある。
例えばC(n)≧Cとなるnが無限個ある場合を考え、そのようなnをn(1) n(2) .... n(m)とした時、同様にx(m) = 1/(n(m) +1) とおくと、x(m)→0で、g(x(m)) ≧0（きちんと確かめよ）。ところが、今度はy(m) = -1/(n(m)+1)とおいた時、y(m)であるがg(y(m)) ≦ 0である。f'(0)が存在するなら、g(x(m))、g(y(m))は同じ値に収束し、その値がf'(0)であることに注意。

(3)
(2)のg(x)に関して、x(n) = 1/(n+1)とおき、lim(x→∞)g(x(n))を考えよ。

一度解いてみて、分からないところが出てくれば書いてください。

補足

ヒントだけで、なく、詳解も、お願いします。少し、レベルが高くて。わかりませんので。