ジョルダン標準形の幾何学的意味

質問

正方行列Aについて、Aのジョルダン標準形とAによる幾何変換の間にはどのような関係がありますか。

１．Aによる変換が拡大縮小の場合、Aのジョルダン標準形はどのようになりますか。
２．Aによる変換が回転の場合、Aのジョルダン標準形はどのようになりますか。
３．Aによる変換が平行移動の場合、Aのジョルダン標準形はどのようになりますか。

回答No.1

jcpmutura

1.
aを実数とする
Aによる変換が原点を中心にa倍拡大縮小の場合
A=
(a,0,0)
(0,a,0)
(0,0,a)
のジョルダン標準形は
A=
(a,0,0)
(0,a,0)
(0,0,a)

2.
Aによる変換が原点を中心にt回転の場合
A=
(cost,-sint)
(sint, cost)
のジョルダン標準形は
(e^{-it},0)
(0.,e^{it})

3.
Aによる変換が3次元平行移動
A(x;y;z;1)=(x+a;y+b;z+c;1)
の場合
A=
(1,0,0,a)
(0,1,0,b)
(0,0,1,c)
(0,0,0,1)
のジョルダン標準形は
(1,0,0,0)
(0,1,0,0)
(0,0,1,1)
(0,0,0,1)