4×4の行列のジョルダン標準形

質問

A=4×4の行列のジョルダン標準形の求め方について次の考え方でいいですか?

(1)固有値が4重根の場合、固有値をλ。
(1)rank(A-λE)=1の時、
固有空間の次元は、4- 1=3
したがってジョルダン細胞は3個。
4×4行列だから、2次+1次+1次。
よって、J=J(λ,2)+J(λ,1)+J(λ,1)
(2) rank=2の時、
ジョルダン細胞数は、4-2=2個。
2次+2次、または3次+1次。
そこで、
(A-λE)≠０と(A-λE)^2=０だったら、最高次数は2だから、J=J(λ,2)+J(λ,2)
(A-λE)^3=０だったら、J=J(λ,3)+J(λ,1)
または、rank(A-λE)^2=1だったら、
J=J(λ,3)+J(λ,1)

(3)rank=3の時、
ジョルダン細胞数は、4-3=1個
よって、J=J(λ,4)

(2)3重根λ1、単根λ2の場合
(1)λ1に対してrank=1の時、
ジョルダン細胞数は、4-1=3個
λ2は単根だから1次、λ1は残り3次に対して3個のジョルダン細胞数だからすべて1次。
よって、J=J(λ1,1)+J(λ1,1)+J(λ1,1)+J(λ2,1)

(2) λ1に対してrank=2の時、
ジョルダン細胞数は、4-2=2個
残り3次に対して2個だから、λ1のジョルダン細胞次数は、2次+1次。
よって、J=J(λ1,2)+J(λ1,1)+J(λ2,1)

(3)λ1に対してrank=3の時
ジョルダン細胞数は、4-3=1個
よって、J=J(λ1,3)+J(λ2,1)

(3) λ1(2重根)、λ2(2重根)の場合
rank=1は、固有空間が3次元になるのであり得ない!!固有ベクトルが2個だから、固有空間の次元もそれ以下に必ずなる。

(1) λ1に対してrank=2、λ2に対してrank=2の時
それぞれジョルダン細胞数は、4-2で2個ずつだから、全部1次。
よって、J=J(λ1,1)+J(λ1,1)+J(λ2,1)+J(λ2,1)

(2) λ1に対してrank=3、λ2に対してrank=2の時、
λ1のジョルダン細胞数は、4-3=1個
λ2のジョルダン細胞数は、4-2=2個
よって、2次+1次+1次
J=J(λ1,2)+J(λ2,1)+J(λ2,1)

(3) λ1とλ2に対して両方rank=3の時、
ジョルダン細胞数は、それぞれ1個ずつ。
2次+2次。
よって、J=J(λ1,2)+J(λ2,2)

(4) λ1(2重根)、λ2(単根)、λ3(単根)の場合
(1) λ1に対してrank=2の時、
ジョルダン細胞数は、4-2=2
よって、1次が2つ。
よって、J=J(λ1,1)+J(λ1,1)+J(λ2,1)+J(λ3,1)

(2) λ1に対して、rank=3の時、
ジョルダン細胞数は、4-3=1個。
2次が1個。
よって、J=J(λ1,2)+J(λ2,1)+J(λ3,1)

(5) 4つの固有値がすべて異なる場合。(λ1、λ2、λ3、λ4)
すべて1次のジョルダン細胞
J=J(λ1,1)+J(λ2,1)+J(λ3,1)+J(λ4,1)

rankは計算する必要なし。
たとえ求めても、ジョルダン細胞数はそれぞれの固有値に対して4-3=1個だから、必ず3になる。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

ひどく読みにくい文章で、読み通すのに大変疲れた。
rank=何たら という記述がどの行列の rank の話か
明示してない ことは大きな問題で、文意が判らない。
相変わらず、ジョルダン胞の rank と dim Ker の
区別が不明瞭であることも、問題点の一つ。
今回は、特に 4=2+2 であることが影響して、
どちらが 2 の話だか判りにくくなっている。
場合分けの番号の付けかたも不親切で…
ケチをつければキリがないが、ともかく大変読みにくい。

3次行列のときからの話の流れで言えば、おそらく、
言ってることの内容は、合っているんだろうと思う。
文意が不明瞭だから、「思う」だけだけどね。
たぶん、貴方は、この件について正しく理解している。
問題があるのは、それの書きかたのほうだろうと思う。

補足

rank=3という書き方は確かにありませんね。
重複した固有値λに対してのrank(A-λE)という意味です。
単根の場合は、明らかに独立した固有ベクトルが1個もとまるので、階数は求める必要がないということです。