数II 三角関数

質問

sin2θ-√2cosθ<0 (0<=θ<2π)
これどうやって解くんですか？

回答No.3

noname#222520 · ベストアンサー

まだ締め切られていないので、一工夫してみます。

sin2θ=2sinθcosθなので、与式は次のようになります。
2sinθcosθ-√2cosθ＜0
cosθ=0のときには成り立たないので、cosθ＞0またはcosθ＜0の場合を考えます。

・cosθ＞0のとき
θがx軸を含み第1象限と第4象限にあるときであり、言い換えるとxy平面をy軸で切った右半分になります。
これを、0≦θ＜π/2または3π/2＜θ＜2πと表現すると、第1象限と第4象限が隣接することをイメージし難くなると思われます。
これで、cosθのことを考える必要はなくなり、紛らわしいのでcosθを消去します。
2sinθcosθ-√2cosθ＜0
2sinθcosθ＜√2cosθ
2sinθ＜√2（cosθ＞0であるから、不等号の向きは変わりません。）
sinθ＜√2/2（1/√2）
sinθ=1/√2になるのは、θ=π/4のときであるから、
0≦sinθ＜1/√2になるのは、0≦θ＜π/4－(1)
第4象限においては、常にsinθ＜0であるから、3π/2＜θ＜2π－(2)

・cosθ＜0のとき
θがx軸を含み第2象限と第3象限にあるときであり、言い換えるとxy平面をy軸で切った左半分になります。
これで、cosθのことを考える必要はなくなり、紛らわしいのでcosθを消去します。
2sinθcosθ-√2cosθ＜0
2sinθcosθ＜√2cosθ
2sinθ＞√2（cosθ＜0であるから、不等号の向きは変わります。）
sinθ＞√2/2（1/√2）
sinθ=1/√2になるのは、θ=3π/4のときであるから、
sinθ＞1/√2になるのは、π/2＜θ＜3π/4－(3)

以上から、答えは(1)(2)(3)のいずれかの範囲になります。

回答No.2

bran111

sin2θ-√2cosθ<0 (0<=θ<2π)

sin2θ=2sinθcosθ （倍角公式）を用いて

2sinθcosθ -√2cosθ<0

cosθ(sinθ-√2/2)<0

(i)cosθ<0 かつ　sinθ>√2/2

0≦θ<2πにおいて

cosθ<0　⇒　π/2<θ<3π/2

sinθ>√2/2　⇒　π/4<θ<3π/4

共通部分は　　π/2<θ<3π/4　　

(ii)cosθ>0 かつ　sinθ<√2/2

0≦θ<2πにおいて

cosθ>0　⇒0≦θ<π/2 または3π/2<θ<2π

sinθ<√2/2　⇒0≦θ<π/4　3π/4<θ<2π

共通部分は　0≦θ<π/4または3π/2<θ<2π

答え

0≦θ<π/4またはπ/2<θ<3π/4または3π/2<θ<2π

回答No.1

info222_

sin2θ-√2cosθ<0 (0<=θ<2π)

2sinθcosθ-√2cosθ<0

2cosθ(sinθ-1/√2)<0

(cosθ>0 かつ sinθ<1/√2) または (cosθ<0 かつ sinθ>1/√2)

0<=θ<2πより
単位円を描いてθの範囲を求めると

0≦θ<π/4, 3π/2<θ≦2π または π/2<θ<3π/4
となります。

まとめると
(答) 0≦θ<π/4 , π/2<θ<3π/4, 3π/2<θ≦2π