数II 三角関数

質問

0≦α≦π/2,0≦β≦π/2でsinα+cosβ=5/4,cosα+sinβ=5/4のとき、sin(α+β)、tan(α+β)の値を求めよ。

という問題で、sin(α+β)は9/16で求められたんですけど、
tan(α+β)が求まりません。
sin(α+β)をcos(α+β)でわって求めるのかなあと思ったのですが
cos(α+β)がでません。。。

sinα+cosβ=5/4
cosα+sinβ=5/4
を連立させて整理し、
sinα-sinβ=cosα-cosβ
この両辺を二乗して整理すると
cosαcosβ-sinαsinβ=(cos^2α+cos^2β-sin^2α-sin^2β)/2
公式よりcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
なのでここから求められるかと思ったんですけどここで手詰まりです。。
どなたか回答お願いします<(_ _)>

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

sin(α+β)が定まれば
sin^2(α+β)+cos^2(α+β)=1
から求まります。

お礼

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回答No.9

arrysthmia

それも、必要導出。
0≦2α≦π　→　-1≦cos(2α)≦1 は、可逆でない。
αは、未知数であって、その範囲を掃く変数ではないから。

お礼

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回答No.8

mister_moonlight

0≦α≦π/2であるから、0≦2α≦π　→　-1≦cos(2α)≦1

お礼

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回答No.7

arrysthmia

←No.6
いや、それでは No.2 と同じになってしまっている。
cos(2α) ＝ ±(5√7)/16 は必要条件であって、
sinα + cosβ = 5/4,　cosα + sinβ = 5/4 という条件の下で
cos(2α) が実際に ± の両方を取り得ることを保証する
十分性のチェックを欠いてはならない。
No.5 のほうが良い。

お礼

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回答No.6

mister_moonlight

＞いずれにしても　計算は煩い。

煩くなかった。ｗ

0≦α≦π/2より、sinα＋cosα＝5/4　の両辺が正から2乗しても同値。
実際に計算すると、sin(2α)＝9/16.　{sin(2α)}＾2＋{cos(2α)}＾2＝1から、cos(2α)＝±（5√7）/16.
tan(2α)＝sin(2α)/cos(2α)。　　これで終わり。

お礼

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回答No.5

mister_moonlight

＞sinα-sinβ＝cosα-cosβ

差→積に直して計算すると（他にも方法があるが）、α＝βとなる。
つまり、0≦α≦π/2で　sinα+cosα＝5/4の時、sin(2α)、tan(2α)の値を求めよ、という問題に還元される。

tanα＝tとするとき、sin(2α)＝（2t）/（1+t＾2）、tan(2α)＝（2t）/（1-t＾2）という教科書に載ってる公式が使える。

他にも解法があるが、いずれにしても　計算は煩い。

お礼

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回答No.4

arrysthmia

失礼。訂正です。
tan(α+β) = tan(π/2 ± 2θ) = ±1/tan(2θ)。

お礼

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回答No.3

arrysthmia

十分性は十分ですか？

sinα + cosβ = 5/4,　cosα + sinβ = 5/4　から β を消去して、
(5/4 - sinα)^2 + (5/4 - cosα)^2 = 1。 これを展開整理して、
sinα + cosα = 5/4。 三角関数を合成して、cos(α - π/4) = (5/8)√2。
cosθ = (5/8)√2,　0 ≦ θ ≦ π/2　と置くと、
(5/8)√2 > (1/2)√2 = cos(π/4)　より、θ < π/4。
以上より、α = π/4 ± θ が、α の取りえる値である。

β についても、全く同様に、β = π/4 ± θ。

ここまでは必要条件であるが、
sinα + cosβ = 5/4,　cosα + sinβ = 5/4　に戻って
十分性を検証すると、α, β の４つの組み合わせの内、
(α, β) = (π/4 + θ, π/4 + θ),　(π/4 - θ, π/4 - θ)
のみが解であることが判る。

tan(α+β) = tan(π/2 ± 2θ) = ±tan(2θ)。
これにより、± とも解であることが確認できた。

お礼

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回答No.2

sanori

こんばんは。

Ｎｏ．１様の
sin^2(α+β)　+　cos^2(α+β)　=　1
のつづきですが、

９^2／１６^2　＋　cos^2（α＋β）　＝　１
cos（α＋β）　＝　±√（１　－　９^2／１６^2）

sin を cos で割れば tan なので、
tan（α＋β）　＝　±９／１６　÷　√（１　－　９^2／１６^2）
　＝　±９　÷　√（１６^2　－　９^2）

ここで、0≦α≦π/2,　0≦β≦π/2　なので、
θ　＝　α＋β　と置けば、
０　≦　θ　≦　π
の範囲での、
tanθ　＝　±９　÷　√（１６^2　－　９^2）
を求めることになります。

０　≦　θ　≦　π
の範囲では、sinθはゼロ以上であり、cosθは、－１～１ の値があります。
ですから、sin を cos で割ったものは、プラスとマイナスの２通りがあります。（細かいことを言えば、ゼロもありますけど）
つまり、
tan（α＋β）　の値は２つあります。　　（←これを言いたかったので、ここまで書きました）

以上、ご参考になりましたら。

お礼

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