数II 三角関数 質問です

質問

0≦θ≦２πのとき、関数 y=4sinθcosθ+3sin^2θ の最大値、最小値を求めよ

2sinθに変形したりしてみましたが分かりませんでした

回答No.4

mister_moonlight

いずれにしても、sin^2θ＝（１－cos2θ)/2　は必要になる。

4sinθcosθ＝2*sin2θだから、これら2つを代入すると、2y＝4*sin2θ＋3-3*cos2θ
cos2θ＝b、sin2θ＝a とすると、a＾2＋b＾1＝1　‥‥(1)　のとき 3b-4a+2y-3＝0　‥‥(2)　のyの値域を定める事になる。
(1)をab平面上に図示すると、原点を中心とする半径1の円周。
(2)は直線だから、(1)と(2)が交点を持つ条件を求める事になるが、原点と直線(1)との距離が　半径の1以下であると良い。
つまり（点と直線との距離の公式を使って）｜2y-3｜/5≦1 →　-1≦y≦4。

回答No.3

eco1900

では、【補足】しておきますね^^。

（前回では・・・）
【質問】　0≦θ≦２πのとき、関数 y=4sinθcosθ+3sin^2θ の最大値、最小値を求めよ。

・恐らく、４sinθcosθ＝２（２sinθcosθ）＝２sin2θとしたと思います。

　→せっかくなので、cosの倍角公式も駆使しましょう^^。

　cos２θ ＝cos^2θ－sin^2θ
　　　　　　＝2cos^2θ－１
　　　　　　＝1－sin^2θ　←これが使えそうですね^^。
　　・・・ということで、「sin^2θ＝（１－cos2θ)/2」を使うと・・・y＝２sin２θ＋３（１－cos２θ）/2　
　　・・・この続きから、再挑戦を祈っています^^v。

（・・・と以上が前回まではこんな感じでした）
　ここからは、式そのものの形も見てすぐ分かるように図にしておきますね^^A。

＊図が見づらい時は、「右クリック→拡大」してからご覧くださいね＾＾。

回答No.2

gohtraw

４ｓｉｎΘｃｏｓΘ＋３ｓｉｎ＾２Θ＝（２ｓｉｎΘ＋ｃｏｓΘ）＾２－ｓｉｎ＾２Θ－ｃｏｓ＾２Θ
　　　　　　　　　　　　　　　　＝（２ｓｉｎΘ＋ｃｏｓΘ）＾２－１

また、
４ｓｉｎΘｃｏｓΘ＋３ｓｉｎ＾２Θ＝－（ｓｉｎΘー２ｃｏｓΘ）＾２＋４ｓｉｎ＾２Θ＋４ｃｏｓ＾２Θ
　　　　　　　　　　　　　　　　＝－（ｓｉｎΘー２ｃｏｓΘ）＾２＋４
です。カッコの中がゼロになるときがそれぞれ最小値、および最大値です。

回答No.1

eco1900

【質問】　0≦θ≦２πのとき、関数 y=4sinθcosθ+3sin^2θ の最大値、最小値を求めよ。

・恐らく、４sinθcosθ＝２（２sinθcosθ）＝２sin2θとしたと思います。

　→せっかくなので、cosの倍角公式も駆使しましょう^^。

　cos２θ ＝cos^2θ－sin^2θ
　　　　　　＝2cos^2θ－１
　　　　　　＝1－sin^2θ　←これが使えそうですね^^。
　　・・・ということで、「sin^2θ＝（１－cos2θ)/2」を使うと・・・y＝２sin２θ＋３（１－cos２θ）/2　
　　・・・この続きから、再挑戦を祈っています^^v。

　ちなみに、答えとしては「最大値４、最小値－１」となるようです。

補足

考えましたがこの式の次が思い浮かびません…