大学の力学の問題です。

質問

大学の力学の問題です。

長さlの一様な鎖の一端をつまんでつるし、下端が机の面にちょうど触れる位置で手を離したとする。鎖の上端がyだけ下がったときに机にかかる鎖の重さはどれだけか。
という問題です。

この問題の解答では、
綿密度をρ、机から受ける力をWとすると、鎖全体の運動量変化の式は
d{ρ(l-y)v}/dt = -W + ρlg
dv/dt = g、dy/dt = v、v^2=2gyを代入すればW = 3ρgy
となっています。

この解答と問題について、
1. dv/dt = gである理由
2. 以下の運動量変化の式はどこが間違っているのか
鎖の運動部分に対する運動量変化の式
d{ρ(l-y)v}/dt = ρ(l-y)g
これを解くとdv/dt=gとなりません。
3. 運動部分と机の上にある部分にはどのような力がかかっているのか
運動部分・・・重力のみ
机の上の部分・・・重力、机からの力
だと考えて問題を解くと机の上の部分の速度が0であることからW=ρgyで答えと異なってしまいます。なので運動部分にも机からの力がかかっているのかと考えたのですが、そうだとすればなぜそうなのか知りたいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

foomufoomu

> ・・・鎖の上端がyだけ下がったときに机にかかる鎖の重さはどれだけか。
問題文は、ほんとにこの通りの文ですか？　そうだとすると、とても変な問題です。

「重さ」の定義が不明ですが、 質量×重力加速度 の意味なら、机の上に載っている鎖の質量分だけなので、
重さ＝ρ*y*g
ですけど。

力学では、鎖は「引っ張り力は負担するが、圧縮力は負担しない」ものなので、机にかかる「重さ」は机の上に載っている鎖の長さ分だけ考えればよい(それより上の鎖の重さが伝わることはない)ことになってしまいますが。。。

鎖の落ちる速さは、空中にある部分が一様に加速度ｇで落ちるだけなので(机からの反力が鎖の上部に伝わることはない)、微分方程式を解く必要はありません。

もしも、「重さ」が衝撃力まで含めた机にかかる力のことなら、机と鎖の剛性が分からないと解けません。

回答No.1

bran111

机に接触している部分B(長さy)と空中に浮いている部分A(長さl-y)に分けて考えます。A,Bは繋がっています。Bは刻々増え、Aは刻々減ります。式
d{ρ(l-y)v}/dt = -W + ρlg　　　　(1)
は机の面からの上向きの抗力Wの詳細(Bには働く、Aにどのように働くか不明、A,Bとも増減しているのでWも時間の関数)には触れないで重力から効力を引いたものがAに対する外力となって働いていることを示しています。
d{ρ(l-y)v}/dt = ρ(l-y)g (2)
はAのみに対する式で、Bを全く考慮していません。Bについては重力と抗力がバランスして力学的考察の対象外という扱いです。

(1)は相当の力量の持ち主でないと書ける式ではありません。これに似た問題として、燃料を燃やしながら前進するロケットは質量を刻々減らしていくので、F=maの式の置いてmも変数として扱う必要があり、運動量保存に持ち込んで解いていたと思います。（1）も確かにそのような式になっています。

ということで書いてあることはそうかと思えても、自分で書けと言われたら、私は詰まってしまいます。要するにもう一つよくわかりません。あしからず。