ナビエストークスについてです。

質問

ナビエストークについてですが，
P(x,y,z:t) q(x+dx,y+dy,z+dz:t+dt) のp-q間のＸ座標のみの速度変化を求めると
(X,Y,Z)：(u,v,w)より
du=(du/dt)dt+(du/dx)dx+(du/dy)dy+(du/dz)dz　となりますよね

そこで(du/dt)を求めて，
(dx/dt)=u, (dy/dt)=v, (dz/dt)=w　になりますよね

(du/dt)=(du/dt)+u(du/dx)+v(du/dy)+w(du/dz)
となりますよね，
同様にしてy,z成分を求めると

X: (du/dt)=(du/dt)+u(du/dx)+v(du/dy)+w(du/dz)
Y: (dv/dt)=(dv/dt)+u(dv/dx)+v(dv/dy)+w(dv/dz)
Z: (dw/dt)=(dw/dt)+u(dw/dx)+v(dw/dy)+w(dw/dz)
ですよね
これらをベクトル演算子を用いると対流項は
なんで(Vgard)Vになるのですか？
V(gradV)ならわからなくもないんですが．

回答No.1

siegmund

成分表示で
(1)　　V = (u,v,w)
(2)　　grad = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
ですから，形式的に V grad という内積を作ると
(3)　　u(∂/∂x) + v(∂/∂y) + w(∂/∂z)
というスカラー演算子です．
これを(1)に作用させれば，
(4)X 成分：u(∂u/∂x) + v(∂u/∂y) + w(∂u/∂z)
(5)Y 成分：u(∂v/∂x) + v(∂v/∂y) + w(∂v/∂z)
(6)Z 成分：u(∂w/∂x) + v(∂w/∂y) + w(∂w/∂z)

V (grad V) ならわからなくもない，というのは変ですよ．
grad はスカラーに作用する演算子で，演算の結果はベクトルですよ．

ところで，kk101 さんは
X: (du/dt)=(du/dt)+u(du/dx)+v(du/dy)+w(du/dz)
と書かれていて，左辺の時間微分も右辺の時間微分も d/dt ですが，
違いは大丈夫ですよね．

最後に，(V grad)V という表現は直角座標の場合のみ有効です．
一般の座標では微分演算が基底ベクトル(すなわち，座標軸方向の単位ベクトル)
にも作用するので，上のようにはなりません．
一般の座標に使える表現は
(7)　　grad{(1/2)V^2} + rot V × V
です．