鎖を引き上げる運動

質問

ひとまとまりに置かれた鎖の一端を手で持って引き上げる運動を考える。鎖の綿密度をλ、重力加速度の大きさをg、鉛直上方をz軸の正の向きとする。

(1)引き上げられた部分の長さがzで静止しているとき、鎖を支えている手が及ぼしている力はいくらか？

(2)一方、鎖の先端位置(手の位置)がz、速度がv、加速度がaのとき手が及ぼしている力Fを求めよ。

(3)次に、一定の速度v_0で引き上げる場合を考える。t=0に引き上げ始めた(z(0)=0)とする。手の高さがzになるまでに手がした仕事W(z)と、その時の鎖の力学的エネルギーE(z)を求めよ。

(4)また、W(z)-E(z)を求め、これが何に対応するか説明せよ。

という問題なのですが、(1)は力のつりあいから λzg だとわかるのですが、(2)がどうやったらいいか分かりません。どう解くのでしょうか？
また、(3)のW(z)は(2)のFをz=0→zで積分で出ると思うのですが、力学的エネルギーはどうしたらいいのでしょうか？位置エネルギーも運動エネルギーも質量mの部分をどう表したらよいか分かりません。
そして、(4)はどうなるのでしょうか？

どうか、よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

（２）
鎖の先端の高さがｚのとき、宙に浮いている鎖の質量はλｚになります。
力は運動量を時間で微分したものなので、Fから鎖にかかる重力λｚｇを
差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλｚｖですから、
F-λｚｇ＝ｄ（λｚｖ）／ｄｔ
　　　　　＝λ（ｚ・ｄｖ／ｄｔ＋ｖ・ｄｚ／ｄｔ）
　　　　　＝λ（ｚａ＋ｖ＾２）
よって
Ｆ＝λ（ｚｇ＋ｚａ＋ｖ＾２）

（３）
速度が一定なので上記においてａ＝０、かつ速度がｖ０なので、Ｆは
Ｆ＝λ（ｚｇ＋ｖ０＾２）
変数としての鎖先端の高さをｈとします。
Ｗ（ｚ）＝∫Ｆｄｈ　（積分範囲は０からｚ）
　　　　＝λ∫（ｈｇ＋ｖ＾２）ｄｈ　（積分範囲は同上）
　　　　＝λ［ｇｈ＾２／２＋ｈｖ０＾２］　（範囲は同上）
　　　　＝λ（ｇｚ＾２／２＋ｚｖ０＾２）

Ｅ（ｚ）は質量λｚの鎖の位置エネルギーと運動エネルギーを考えれば
よくて、前者はλｇｚ＾２／２　（２で割っているのは、宙に浮いている鎖の
重心がｚ／２の高さにあるからです）　であり、後者はλｚｖ０＾２／２です。
よって
Ｅ（ｚ）＝λ（ｇｚ＾２＋ｚｖ０＾２）／２

（４）
一言でいうと、質量が変化するからＷ（ｚ）とＥ（ｚ）が同じにならないということ
です。下記はそのものズバリの問題ではありませんが、参考にはなります。
例題７と８を見て下さい。
https://online.lec-jp.com/images/goods_book/KL/KL10057.pdf