割と至急お願いします。力学の問題です。

質問

質量mの物体を初速度v0で鉛直上方に投げ上げたとき以下の問いに答えよ。ただし重量加速度の大きさをg、鉛直上向きにy軸をとるものとする。なお、必要なら速度vに対してdv/dt=(dy/dt)(dv/dy)=vdv/dyとなることを用いよ。

(a)物体に摩擦による抵抗が働かないとき、物体の最高点での高さを求めよ。
(b)物体に速度に比例する摩擦力mkvが働くとき(kは正の定数)、物体の最高点での高さを求めよ。
(c)物体に速度の二乗に比例する摩擦力mk'v^2が働くとき(k'は正の定数)、物体の最高点での高さを求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

ddtddtddt

時間を陽に含まない速度vと変位yとの関係、

　　f(v，y)＝A

の事を、運動の第一積分と言います。Aは定数です。たいがいこれはエネルギー保存則になりますが、抵抗があってエネルギー保存則が成り立たない場合でも、「エネルギー保存則ではない運動の第一積分」が求まる時があるよぉ～、というのがこの演習問題の趣旨かな？と思いました。
　そこでvとyを直接関連付けるために出てきたのが、

　　dv/dt=(dy/dt)(dv/dy)=vdv/dy

の関係なのでしょう。添付図の(1)に示したように、この関係はうるさい事を言わなければ、いつでも成り立ちます。

(a)
　運動方程式は、

　　m･dv/dt＝－mg

　(1)を使えば、

　　m･v･dv/dy＝－mg

　yで積分して、

　　m･v^2/2＋mgy＝A（エネルギー保存則）

　初期条件、y＝0でv＝v0を使えば、

　　A＝m･v0^2/2
∴
　　m･v^2/2＋mgy＝m･v0^2/2

　最高点ymaxではv＝0だから、

　　mg･ymax＝m･v0^2/2　⇒　ymax＝v0^2/2/g

(b)
　流れはいっしょです。運動方程式は、

　　m･dv/dt＋mk･v＝－mg

　(1)より、

　　m･v･dv/dy＋mk･v＝－mg　⇒　v･dv/dy＋k･v＝－g

　これをyで積分する過程は、添付図(2)。得られた第一積分(2)に初期条件、y＝0でv＝v0を使い積分定数Aを決め、v＝0を代入してymaxを計算。

(c)
　運動方程式は、

　　m･dv/dt＋mk･v^2＝－mg

　(1)より、

　　m･v･dv/dy＋mk･v^2＝－mg　⇒　v･dv/dy＋k･v^2＝－g

　第一積分は、添付図(3)。後は同じ。(1)～(3)の計算は、チェックして下さいね(^^;)。