方程式

質問

a(x＾n)＋bx＾(n-1)　　＋1が（x-1)＾２で割りきれるとき、a,b,をnで表すのがさっぱりわかりません。

答はa=n-1,b＝-nです

おしえてください

微分で解けると聞いたのですが微分は苦手でよくわかりません。
例えば2xを微分すると2のような程度しか。

もし宜しければ、丁寧な説明かつ、微分と微分を使わないとき方をおしえてくれませんか？

回答No.2

p-masa · ベストアンサー

結構めんどくさい問題ですね。
微分を使う方法については、以下の定理を使います。

f(x)が(x-α)^2で割り切れるとき、次の(1)，(2)が成り立つ。
(1)f(α)=0
(2)f'(α)=0　<<f'(x)はf(x)をxで微分したもの>>

(1)はただの因数定理ですが、(2)が成立することを証明するためには、数3の合成関数の微分の知識が必要となってきます。ですので、ただ答えを出すという意味ではこの公式を暗記して使ってしまうというのも手です。

では、回答
f(x)=ax^n＋bx＾(n-1)＋1とおく，
f(x)は(x-1)^2で割り切れるので
f(1)=0…(1)
f'(1)=0…(2)が成り立つ。
(1)より、f(1)=a+b+1=0…(3)
また、f'(x)=anx^(n-1)+b(n-1)x^(n-2)
これより、f'(1)=an+b(n-1)
(2)と合わせて、
an+b(n-1)=0…(4)
(3)よりa=-b-1 これを(4)に代入して
n(-b-1)+b(n-1)=0
これより、b=-n
これを(3)に代入して
a=n-1
ゆえに、a=n-1,b＝-n
でした。

補足

ありがとうございます。
もしよろしければ、微分を利用しない解き方もおしえてくれませんか？

回答No.3

p-masa

では微分を使わない方法で…
x-1=yとおくと、
ax^n+bx^(n-1)+1=a(y+1)^n+by^(n-1)+1
ここで、a(y+1)^nは2項定理より、
a(y+1)^n=a{y^n+nＣ_1y^(n-1)+・・・+nＣ(n-1)y+nＣn}
by^(n-1)=b{y^(n-1)+・・・+(n-1)Ｃ(n-2)y+(n-1)Ｃ(n-1)}
ここで、(x-1)^2=y^2となり、a(y+1)^n+by^(n-1)+1はy^2で割り切れるので、２項定理を使った結果より
anＣ(n-1)y+anＣn+b(n-1)Ｃ(n-2)y+b(n-1)Ｃ(n-1)+1=0がyの恒等式となる。
よって、
anＣ(n-1)+b(n-1)Ｃ(n-2)=0
an+b(n-1)=0…(1)
anＣn+b(n-1)Ｃ(n-1)+1=0
a+b+1=0…(2)
(1)(2)よりa=n-1,b＝-n

回答No.1

proto

a(x＾n)＋bx＾(n-1)＋1が（x-1)＾２で割りきれるとき
商をQ(x)として

a(x＾n)＋bx＾(n-1)＋1 = Q(x) *（x-1)＾2　－(1)

と書けます
(1)にx=1を代入して
a+b+1=0　－(2)

(1)の両辺をxについて微分して
na(x^(n-1))+(n-1)b(x^(n-2))=Q'(x)*(x-1)^2+Q(x)*2(x-1)　－(3)

(3)にx=1を代入して
na+(n-1)b=0　－(4)

(2)、(4)より
a=n-1,b=-n

となります
『割り切れる』と言うのを、式に書き直すこと
式を微分してもう一つ式を作ることがポイントです

補足

ありがとうございます。
もしよろしければ、微分を利用しない解き方もおしえてくれませんか？