ラグランジュを用いた最適化問題

質問

xはn次元ベクトル、AとBはn×nの行列です。
Aは半正定値で階数はたかだか(n-1)であるとします。
xの転置をx'と表しています。

max　　x'Ax
s.t.　 　x'Bx - 1 = 0

という問題についてなんですが、ここでラグランジュを考えると

L(x) = x'Ax - λ( x'Bx - 1 ) となって、xについて偏微分して0とおくと、

Ax = λBx

となり、Bに逆行列B^(-1)が存在するならば

(B^(-1)A - λI)x = 0　(Iは単位行列)

となりますよね。ここまではわかるのですが、次に

「B^(-1)Aの最大固有値をλ1とすると max{L(x)} = λ1 が求まる。」

と書いてあって、理解できません。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

weredragon · ベストアンサー

Ax = λBx　を満たす x が最大値（正確には極値)を
与えるわけです。
これを使ってもとのL(x)において Ax を消去すると、
L(x) = λ　になりますよね？
許されるλは
(B^(-1)A - λI)x = 0
によって決まるわけなので、B^-1 A の固有値です。
すなわち、固有値のうちで最大のものが max L(x) に
なるわけです。

お礼

L(x)=λ になるんですね！
完全に盲点でした。
ありがとうございました。

回答No.2

yaksa

たんに、
(B^(-1)A - λI)x = 0
B^(-1)Ax = λx
の解をL(x)の式に代入しただけかと。

Ax = λBx
両辺に左からx'をかけて
x'Ax = λx'Bx

したがって、
L(x) = x'Ax - λ( x'Bx - 1 )
　　 = λ

お礼

タッチの差でしたね（笑）
ありがとうございました。