連立三角方程式

質問

角度の範囲を絞るところがわからないので質問します。
問、0°≦x＜360°,0°≦y＜360°の範囲で次の連立方程式を解け。
sinx+siny=1・・・(1),cosx-cosy=√3・・・(2)
(1)からsinx=1-siny・・・(1)' -1≦siny≦1より、1-siny≧0であるからsinx≧0
したがって0°≦x≦180°・・・(3)
(2)からcosx=√3+cosy・・・(2)' -1≦cosy≦1より、√3+cosy>0であるからcosx>0
ここがわからないところです。したがって　0°<x<90°,270°<x<360°・・・(4)
自分はcosxは1になることもあるので、0°≦x<90°だと思いました。
また、√3+cosy≧√3-1なので、cosx≧√3-1だからxの範囲はさらに絞られるのではと思いました。
解答では、(3)と(4)の共通範囲をとって、0°<x<90°とし、(1)'(2)'の両辺を平方し、辺辺加えて
√3cosy-siny+2=0 ,siny=√3cosy+2・・・(5) 上記のようにして、siny>0 より
0°<sinｙ<180°(5)の両辺を平方して、sin^2y=1-cos^2yを代入して整理して(2cosy+√3)^2=0,cosy=-√3/2これを(2)’に代入してcosx=√3/2 xとｙの範囲に注意して、y=150°、x=30°が答えでした。
どなたか、cosx>0のとき0°<x<90°となることを教えてください。お願いします。

回答No.2

info33 · ベストアンサー

> 0°≦x≦180°・・・(3)

> 0°<x<90°,270°<x<360°・・・(4)
0°≦x<90°, 270°<x<360 ... (4')
の方が正しいですね。

>自分はcosxは1になることもあるので、0°≦x<90°だと思いました。
その通りです。

>また、√3+cosy≧√3-1なので、cosx≧√3-1だからxの範囲はさらに絞られるのではと思いました。

これはあくまでも解を絞るための必要条件です。
解の範囲が絞られればいいのです。
解の評価は

<<問、0°≦x＜360°,0°≦y＜360°の範囲で次の連立方程式を解け。
sinx+siny=1・・・(1),cosx-cosy=√3・・・(2) >>

を満たしていると確認できて, 十分条件といえます。
確認したくない のであれば,すべて同値変形により, 解を導く必要があります。

---
cosx=√3-1の解は x=42.9414028648799... , 317.058597135120... なので
0°≦x<42.95°, 317.05°<x<360°・・・(4'')

>cosx>0のとき0°<x<90°となることを教えてください。
0°<x<90° は間違いです。→ 0°≦x<90°

お礼

必要条件や十分条件についても解説してくださり、ありがとうございます。

回答No.4

staratras

No.3です。連立方程式を解く過程で不十分な点がありましたので、訂正します。失礼しました。

tan((x-y)/2)=-√3　…（3）
0°≦x＜360°,0°≦y＜360°…（4）だから、-180°＜((x-y)/2)＜180°となり、
この範囲で（3）を満たすのは((x-y)/2)=-60°すなわちx-y=-120°…（5）のみ　
と書いてしまいましたが、
これは正しくなく、((x-y)/2)=120°すなわちx-y=240°も（3）は満たします。

ただしこれを(1)'に代入するとsin((x+y)/2)=-1 となりますが、0°≦((x+y)/2)＜360°の範囲でこれを満たすのは、((x+y)/2)=270°つまりx+y=540°しかなく、x-y=240°と連立させるとｘ=390°となって0°≦x＜360°という指定された解の範囲をはみ出すので、これは不適です。

お礼

訂正ありがとうございます。

回答No.3

staratras

角度の範囲を絞っているのは、解の範囲を限定するためですが、確かにあまりわかりやすくないですね。同値変形で素直に方程式を解いた方がわかりやすいかもしれません。この場合でも解のx,yの値を与えられた範囲で求めていることは示す必要があるでしょうけれど。

和差の公式から
sinx+siny=1…(1)　より2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)=1…(1)'
cosx-cosy=√3…(2)より-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)=√3 …(2)'
(2)'÷(1)'よりtan((x-y)/2)=-√3　…（3）

0°≦x＜360°,0°≦y＜360°…（4）だから、-180°＜((x-y)/2)＜180°となり、
この範囲で（3）を満たすのは((x-y)/2)=-60°すなわちx-y=-120°…（5）のみ
これを(1)'に代入するとsin((x+y)/2)=1 、（4）から0°≦((x+y)/2)＜360°となり
この範囲でこの式を満たすのは((x+y)/2)=90°すなわちx+y=180°…（6）のみ
((5)+(6))÷2　よりx=30°（6）に代入してy=150°

答えx=30°y=150°

お礼

和差の公式を使った解き方の紹介、ありがとうございます。

回答No.1

gamma1854

第一式から、0≦x≦pi 、第二式より、
√3 - 1≦cos(x)≦√3+1 より、0≦x<pi/4, or (7/4)pi<x<2pi.
よって、0≦x<pi/4.
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※この問いについては、両式の平方の和をとり、cos(x+y)=-1.
が出ます。これより、x+y=pi, 3pi.... これが「必要条件」からのものです。
これを利用するも一法です。

お礼

お返事ありがとうございます。別解の紹介もありがとうございます。