複雑な確率の計算(1000回の勝負をしてどこかで15回以上連続して勝つ確率は？)
次の問題にかなり悩まされています。
「勝つ確率が1/2, 負ける確率が1/2 であるような勝負を1000回
やって、1000回のうち、どこかで15回以上連続して勝つ確率は
いくらか？」
これはYAHOO知恵袋で見つけた問題です。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1221460267
回答者のひとりは、
「15回の勝ちをひとまとめにすると、それは985+1回目のどこかで
実現するはず。残り985回は勝ちでも負けでもよい。よって組み合
わせは986*2^985通りで、総数2^1000のうちそれが実現する確率は、
(1/2)^1000*986*2^985=986/2^15」
という回答をしていますが、この回答では15連勝する場合の数を
重複して数え上げていると思います。
もう少し単純な問題を考えてみます。
(問題)
「勝つ確率が1/2, 負ける確率が1/2 であるような勝負を5回やって、
どこかで2回以上連続して勝つ確率はいくらか？」
この問題を先の回答者の方法で解いてみると、
「2回の勝ちをひとまとめにすると、それは3+1回目のどこかで
実現するはず。残り3回は勝ちでも負けでもよい。よって組み合
わせは4*2^3通りで、総数2^5のうちそれが実現する確率は、
(1/2)^5*4*2^3=1」
となりますが、これは明らかにおかしいです。
(この解法では、確率が1になってしまいます。)
5回の勝負のうち、どこかで2回以上連続して勝つ場合をすべて
書いてみると次のように19通りしかないことがわかります。
(勝ちを○で、負けを×で表しています)
したがってこの問題の解は (1/2)^5*19=19/32 です。
1 ○○○○○
2 ○○○○×
3 ○○○×○
4 ○○×○○
5 ○×○○○
6 ×○○○○
7 ○○○××
8 ○○×○×
9 ○○××○
10○×○○×
11○××○○
12×○○○×
13×○○×○
14×○×○○
15××○○○
16○○×××
17×○○××
18××○○×
19×××○○
最初の問題
「勝つ確率が1/2, 負ける確率が1/2 であるような勝負を1000回やって、
1000回のうち、どこかで15回以上連続して勝つ確率はいくらか？」
に対して、パソコンによるシミュレーションをやってみた結果
0.0149 という値を得ました。
しかし私はシミュレーションによる値ではなく、正確な確率の値を
知りたいと思っています。もちろん2^1000通りの勝負のつきかたを
すべて調べ上げることができれば答えは得られますが、この方法は
私には無理です。
正確な確率の値を得るためには、どのように考えて行けばよいのでしょうか？
よろしくお願いします。
お礼
丁寧に回答してくださって、ありがとうございます！ これで、疑問がすっかり解決しました。