確率の問題

質問

入試の過去問を解いていて下のような確率の問題が出ました。
私はいつも図や表(?)を描いて解いていて、下の問題もそれを使ってなんとか解けました。
しかし解けたのはいいのですが、とても時間がかかってしまい、他の問題を解くための時間が少なくなってしまいました。
それで、確率の問題を速く解くコツなどがあったら知りたいのですが、そのようなコツはありますか？
それとも図や表を描いて解くのが１番いい方法なのでしょうか？
ご回答お願いします。

問題
いくつかの10円、50円、100円を用いて、500円を作りたい。
ただし、用いない種類の硬貨があってもよいものとします。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え・・・36通り

回答No.4

larme001 · ベストアンサー

早く解くコツ、はとにかく「うまい数え上げの方法をみつける」ことです。そのときに注目したいのが、どの様に数えれば重複せずにうまく数えていけるか？ということです。数え上げているときに規則性から一般式をみつけて、、、ということが出来ればラッキーですが、そこまで頭が回らなくても数え上げる方法のコツをつかめば別に表の一部を省略することも出来ます。
たとえば、この問題の場合どれか一つの硬貨に注目します。この場合100円の数が一番少しの場合わけですむのでそれに注目します。
１）100円五枚で一通り。
2)100円４枚のとき、
　a)50円二枚で一通り
　b)50円１枚で残り１０円ｘ５の一通り
　c)50円０枚ですべて１０円ｘ１０一通り。
よってこの場合、合計３通り。
ここで、この問題で10円は最低５枚の倍数でしか用いられない（つまり３０円、７０円などはない）ということは当然分かります。すると、それよりも大きい100円、５０円の数が決まれば一組しかないでしょう。これに注意して続きを考えると、
3)100円３枚のとき,
　最高50円ｘ４枚なので、50円の数が、３，２，１，０となったときがあるのでこの場合5通り。
４）同様に300＝５０円ｘ６より　50円の数が６から０までで７通り
5)400=50x8 より９つ
6)100円ゼロ枚なので50x10=500より１０枚から０枚のときで１１通り

１）から６）の場合（＝１００円の枚数で場合わけ）をすべて足すと
1+3+5+7+9+11=36通りと出ます。

この手の問題のポイントは
１）どのコインの枚数に注目して条件を満たす場合を数えると、数え間違いがないか、或いは考えやすいかを見極めること。＞これは出来るだけ場合わけがわかりやすく少ないものをさがす。たとえば１０円で場合わけをすると５０枚のとき、一通り４９枚のとき０通り、、、とごちゃごちゃしますので、ミスを引き起こすもとになりますし、やってることが何だかわからなくなりやすい。５０円も同様に不適。
２）コインの枚数の最大値、最小値から条件の範囲を決める
たとえば１００円は０枚から５枚、５０円は０枚から１０枚使えます。１０円はその残り、と考えればよく（０枚から５０枚でも不可喪あるので特に考えなくて良い）、これだけでもかぞえる範囲が限定されます。

ちなみに、この問題の意図するところは、これといった特殊な計算で解かせるよりも、場合わけをキチンとして数えられるかを試していると思われます。時間がなくなる？ということは、キチンと順序だった数え方をしていないのでごちゃごぎゃになったか、あるいは考えるのが遅すぎるかでしょう。前者の場合はとりあえずゆっくりでも良いからあせらずに数えてみること、後者の場合は演習量が足りません。掛け算足し算などと一緒で慣れればだれでも数え上げも早くなります。

お礼

答えていただき、ありがとうございます。
とても詳しい説明なのでわかりやすかったです。
やっぱり表を描くこと自体は大切なんですね。
私は、きちんと順序だった数え方をしてなくてごちゃごちゃになってたと思います。
なので、あせらず数えることにします。
ありがとうございました。

回答No.3

sato0805

組み合わせの問題ははやくとけない、というあなたの直感はあたっているきがします。

はじっこからかんがえる、問題を分割する、などが早くとくコツですが、これは地道だと感じるんですよね。

全部１００円の場合から、１００円を５０円におきかえていく。
または、
２００円を作る場合を考える。

地道ですよね。図を書く姿勢を保ちましょう。勉強がんばれ。

お礼

答えていただき、ありがとうございます。
やっぱり図を描くのが1番いい方法なんですね。
これからは図を描く場合でも速く解けるようにしたいと思います。
勉強がんばります！

回答No.2

Mandheling

この問題の場合、表を書いて場合分けするのが私にとっては一番早いですね。
問題の特徴を捉えれば、比較的短時間で解けそうです。
100円玉は50円玉2枚と置き換えることができる。
50円玉は10円玉5枚と置き換えることができる。
つまり100円玉50円玉の合計金額が500円以下になるのは何通りかということになります。（差額は10円玉で埋めることで500円にすることができる）
次に場合分けですが100円玉の個数でわけるのが場合分けが少なくてよいでしょう。
100円玉5枚の場合、これだけで500円になりますから　1通り
100円玉4枚の場合、のこりは100円。このとき50円玉が取りうる枚数は0～2枚の　3通り
同様にして求めていって、
100円玉0枚の場合、のこりは500円。このとき50円玉が取りうる枚数は0～10枚の　11通り
までもとめ、全ての場合を合計すればいいのではないでしょうか。
ミソは10円玉は無視してもいいこととに気がつき、各硬貨が0枚の場合もあることを忘れないことでしょうか。

ただ、こうやって場合分けしている最中に「あ、100円玉1枚減らすと、硬貨の組み合わせは2通り増えるじゃん」ということをひらめけば、さらに回答時間は短縮できそうですね。

お礼

答えていただき、ありがとうございます。
とても詳しい説明なのでわかりやすかったです。
やっぱり表などを描くのが1番いい方法なんですね。

回答No.1

koko_u

確率の問題だという先入観を捨てることです。

単純に x, y, z が 0以上の整数の場合に 10x + 50y + 100z = 500 の解の個数を求めれば良いのでは。

ということは x + 5y + 10z = 50 の整数解の個数で、
5y + 10z <= 50, y >= 0, z >= 0 の整数解の個数で、
y + 2z <= 10, y >= 0, z >= 0 の整数解の個数です。

お礼

答えていただき、ありがとうございます。
しかしこのような解き方をしたことがないので難しかったです。
答えていただいたのにすみません・・・