Σ計算 三角関数

質問

Σ(i=0～n-1)Σ(j=i+1～n)(cosθ)^j-i
この計算ができません。
どなたか教えて頂けませんか？
よろしくお願いします。

回答No.1

bran111

Σ(i=0～n-1)Σ(j=i+1～n)(cosθ)^j-i

要するに等比級数の和、t=cosθとおくと

Σ(i=0～n-1)Σ(j=i+1～n)(cosθ)^j-i (公比＝t)
=Σ(i=0～n-1)Σ(j=i+1～n)t^j-i
=Σ(i=0～n-1)[t(1-t^(n-i))/(1-t)]
=[t/(1-t)]Σ(i=0～n-1)[(1-t^(n-i))] (公比＝1/t)
=[t/(1-t)][n-t^n(1-(1/t)^n)/(1-(1/t))]
=[t/(1-t)][n-t^n(1-(1/t)^n)/(1-(1/t))]
=[t/(1-t)][n-(t^n-1)t/(t-1)]
=[t/(1-t)][n+(t^n-1)t/(1-t)]
=[t/(1-t)^2][t^(n+1)-(n+1)t+n]
=t[t^(n+1)-(n+1)t+n]/(1-t)^2
=cosθ[(cosθ)^(n+1)-(n+1)cosθ+n]/(1-cosθ)^2