三角関数（微積分）

質問

負でない整数m,nがあり、
I(m,n)=∫[0→π/2](cosx)^m×(sinx)^mdx と定める。
このとき、
I(m,n)=(m-1)/(m+n) I(m-2,n) が成り立つことを示せ。
という問題があるのですが、いろいろやってみたものの、
m+n　という項がどこから出てくるのかも分からずどうにも解けません。（答えとは違いますが、I(m,n)=(m-1)/(n+1)I(m-2,n+2) という等式は出ました。）
どなたか解法が分かる方いらっしゃいましたら教えていただけると幸いです。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

部分積分で、I(m,n)=(m-1)/(n+1)I(m-2,n+2)　まで導かれたのなら、あともう少しです。
　(sinx)^2＝1-(cosx)^2 を利用して両辺を整理します。

　I(m,n)＝(m-1)/(n+1)I(m-2,n+2)
　　　　＝(m-1)/(n+1) {I(m-2,n)-I(m,n)}
∴(m+n)/(n+1) I(m,n)＝(m-1)/(n+1) I(m-2,n)
∴I(m,n)=(m-1)/(m+n) I(m-2,n)

お礼

I(m,n)=(m-1)/(n+1)I(m-2,n+2)　までは正しかったんですね。
全然別の解き方をしなければいけないのかと考えていましたが、
これを少し変形するだけであっさりできてしまうとは考えてもいませんでした。
迅速な回答ありがとうございました。