周期関数から偶関数成分と奇関数成分を作る説明

質問

周期関数から偶関数成分と奇関数成分を作る説明が理解できません。

（本より抜粋）
f_p(t) =
{ (sin t)^2 (0<=t<π)
{ 0 (π<=t<2π)
を周期2πで周期的に拡張した関数をf_s(t)とし、
f_e(t) = { f(t) + f(-t) } / 2
f_o(t) = { f(t) - f(-t) } / 2
の式からその偶関数成分f_e(t)と奇関数成分f_o(t)を作ってみよう。

0<=t<π で f_s(t) = (sin t)^2
π<=t<2π で f_s(t) = 0
である。

まず、0<=t<πを満たすtに対しては、π<=2π-t<2πなので（質問：何が？主語は何？）、
f_s(t) の周期性から
f_s(-t) = f_s(2π-t) = 0が成り立ち、
f_e(t) = { f_s(t) + f_s(-t) } / 2　←このf_s(-t)が0なので、f_s(t)だけ残るのは分かります
= (1/2) (sin t)^2
f_o(t) = { f_s(t) - f_s(-t) } / 2　←同上
= (1/2) (sin t)^2
となる。

また、π<=t<2πを満たすtに対しては、0<=2π-t<πなので（質問：何が？主語は何？）、
f_s(-t) = f_s(2π-t) = (sin (2π-t))^2 = (sin t)^2 が成り立ち、
f_e(t) = { f_s(t) + f_s(-t) } / 2　←このf_s(t)が0なので、f_s(-t)だけ残るのは分かります
= (1/2) (sin t)^2
f_o(t) = { f_s(t) - f_s(-t) } / 2　←同上
= - (1/2) (sin t)^2
が得られる。

f_s(t)は、区間0<=t<=2πでの関数f_p(t)を周期2πで周期的に拡張したものである。
(1/2) (sin t)^2は周期2πの周期性を持つから、偶関数成分は
f_e(t) = (1/2) (sin t)^2
であり、奇関数成分は
f_o(t) =
{ (1/2) (sin t)^2 (0<=t<π)
{ - (1/2) (sin t)^2 (π<=t<2π)
を周期2πで周期的に拡張したものとなっている。

…と書いてあるのですが、
まず、π<=2π-t<2πと0<=2π-t<πの主語は何でしょうか？
そして、ここで何を説明しようとしているのか分かりません。
なぜ2π-t（つまりは-t+2π）を入れているのか分かりません。
そもそも、f_p(t)が(0<=t<π)と(π<=t<2π)で別々の関数になっているのが理解の妨げになっています。
もっと簡単に説明できませんか？

いろいろ検索すると
http://manabukano.brilliant-future.net/lecture/appliedmathF2/slide/Slide02_FourierSeries.pdf
の14ページ目が見つかりました。
この図によると、負側（-π<=t<0）に拡張しているようです。

この本では
0<=t<π のときは π<=t<2π側
π<=t<2π のときは 0<=t<π側
に拡張しようとしているということでしょうか？
全然理解できません。
説明できる方、どうか説明をお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

多分、一度自分で与えられたf_s(t)から、
f_e(t) = {f_s(t) + f_s(-t)}/2
を計算しようとすると、なぜそんなことをしているのかが分かるのではないでしょうか。

要はf_sは周期2πの周期関数なのだから、今までの議論からf_eも周期2πの周期関数となるので、具体的に0≦t<2πの時のf_eの値がわかれば、f_eは決定される。
そこで、0≦t<2πの時のf_e(t)を具体的に計算したい。そこでf_e(t)の式
f_e(t) = {f_s(t) + f_s(-t)}/2
を見ると、f_s(t)の値はそのまま分かるけど、f_s(-t)に関しては、-2π< -t ≦0であって、この範囲の-tに対するf_s(-t)の値はすぐには分からない（なぜならf_sの元の関数f_pは0≦t<2πの範囲しか値を書いていない）、困ったね、ということを考えている。

そこで、f_sは周期2πといっているのだから、f_s(-t) = f_s(-t + 2π）を満たすが、こうすると 0 < -t + 2π ≦ 2πとなって、この範囲ではf_pの値は具体的に与えれているから、f_s(-t)の値が具体的に分かってよかった！、ということです（本当は2πに対する値は与えられてないけど...）

というわけで、
> 0<=t<πを満たすtに対しては、π<=2π-t<2πなので
0<=t<πをtが満たすとき、π<=2π-t<2πが成り立つ、といっているに過ぎない
（ただし、本当はこれは間違いで、0<=t<πをtが満たすとき本当はπ<2π-t≦2π、従ってt=0の時は2π-t = 2πだから、別に議論をしなくてはいけない）

> ここで何を説明しようとしているのか分かりません
f_s(-t) の値を求めようとしているが、f_pが0≦t< 2πの範囲しか与えられてないので、-tの代わりに2π-tを考えて値を出そうとしている。

> そもそも、f_p(t)が(0<=t<π)と(π<=t<2π)で別々の関数になっているのが理解の妨げになっています。
あまり簡単な例だと面白くない、という筆者の判断です（多分）。そして、この例の位ならすんなり計算できないと困る、ということでもあるでしょう。

お礼

お陰様で理解できました。
実際にtにπ/3と5π/3を代入してグラフを描きました。

本に
f_p(t) =
{ (sin t)^2 (0<=t<π)
{ 0 (π<=t<2π)
の偶関数成分と奇関数成分のグラフがそれぞれ載っていますが、昨日までは理解できていませんでした。今は計算結果と併せて理解できています。ついでに、f_p(t)が(0<=t<π)と(π<=t<2π)でわざわざ別々の関数にした理由が今は分かる気がします。(0<=t<π)は両者同じ形なので２倍になり、(π<=t<2π)は正負が反転した形になっているので相殺してゼロという、とても良い例でした。(^^ゞ

丁寧な説明、ありがとうございました！

補足

ありがとうございます。
ほぼ理解できました。
f_s(-t)のように-tを入れている時点で既にt=0より前に拡張（？）しようとしているんですね。そして、t=0より前の値なんて定義されてないが周期性はあるので、それと同じ値になる点を0≦t<2πの中から探り出そうとしているんですね。
すみません、明日もう一度冷静な頭で読んでからお礼させて下さい。