指数関数e^(-3t)のフーリエ解析

質問

どうしてもわからないのですが、

時間軸をtとしたときに

e^{-3(t+2)} (-2<t<-1)
e^{-3(t+1)} (-1<t<0)
e^{-3t} (0<t<1)
e^{-3(t-1)} (1<t<2)

で与えられるような周期が１の関数X(t)のフーリエスペクトルの求め方とはどうようなものでしょうか？

関数を図で表すとe^(-3t)が周期１で連続してのこぎりのようにならんだ図になります。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

周期関数(周期T=1)なので指数型フーリエ級数展開して
X(t)=∑[k=1,∞] c[k]*exp(i2kπt), （iは虚数単位）
ここで、
c[0]=a[0]/2, c[k]=(a[k]-ib[k]), c[-k]=(a[k]+ib[k])
a[0]=(2/T)∫[0,T] {e^(-3t)}dt=(2/3){1-e^(-3)}
a[k]=(2/T)∫[0,T] {e^(-3t)}cos(2kπt)dt
=6{1-e^(^3)}/{9+4(kπ)^2}
b[k]=(2/T)∫[0,T] {e^(-3t)}sin(2kπt)dt
=4{1-e^(^3)}kπ/{9+4(kπ)^2}

X(t)のフーリエスペクトルは輝線スペクトルになり次式で表されます。
F(f)=2π∑[k=1,∞] c[k]δ(f-kf0), f0=1/T=1
c[k]=2{1-e^(^3)}(3-i2kπ)/{9+4(kπ)^2},
c[-k]=2{1-e^(^3)}(3+i2kπ)/{9+4(kπ)^2},(k=1,2,…)
c[0]={1-e^(-3)}/3

お礼

遅くなりましたが、丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

単にフーリエ展開するだけじゃダメなんだっけ?

お礼

回答ありがとうございます。

すみません、確かにそのままフーリエ展開の公式に入れるだけでした。
まだフーリエについて習ったばかりでよく分かってなかったので＾＾；

ありがとうございました。